Нильпотентная алгебра

В математике , в частности в теории колец , нильпотентная алгебра над коммутативным кольцом — это алгебра над коммутативным кольцом , в которой для некоторого положительного целого числа n каждое произведение, содержащее не менее n элементов алгебры, равно нулю. Понятие нильпотентной алгебры Ли имеет другое определение, которое зависит от скобки Ли . (Для многих алгебр над коммутативными кольцами не существует скобки Ли; алгебра Ли включает свою скобку Ли, тогда как в общем случае алгебры над коммутативным кольцом не существует скобки Ли.) Другим возможным источником путаницы в терминологии является квантовая нильпотентная алгебра [ ^{1] —} понятие, связанное с квантовыми группами и алгебрами Хопфа .

Ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом определяется как нильпотентная алгебра тогда и только тогда, когда существует некоторое положительное целое число такое, что для всех в алгебре . Наименьшее такое число называется индексом алгебры . ^[2] В случае неассоциативной алгебры определение состоит в том, что каждая различная мультипликативная ассоциация элементов равна нулю.${\displaystyle А}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0=y_{1}\ y_{2}\ \cdots \ y_{n}}$${\displaystyle y_{1},\ y_{2},\ \ldots,\ y_{n}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle n}$${\displaystyle А}$${\displaystyle n}$

Ассоциативная алгебра , в которой каждый элемент алгебры нильпотентен, называется нильалгеброй . ^[3]

Нильпотентные алгебры тривиально равны нулю, тогда как нильалгебры могут не быть нильпотентными, поскольку нильпотентность каждого элемента не приводит к исчезновению произведений различных элементов.

• Алгебраическая структура (гораздо более общий термин)
• алгебра ниль-Коксетера
• алгебра Ли
• Пример неассоциативной алгебры

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н  1878556

• Нильпотентная алгебра – Энциклопедия математики