Тета-функции Невилла

В математике тета-функции Невилла , названные в честь Эрика Гарольда Невилла , ^[1] определяются следующим образом: ^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle \theta _{c}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(q(m))^{k(k+1)}\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}$

${\displaystyle \theta _{d}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\,\sum _{k=1}^{\infty }(q(m))^{k^2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}$

${\displaystyle \theta _{n}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}$

${\displaystyle \theta _{s}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}$

где: K(m) — полный эллиптический интеграл первого рода, а — эллиптический ном.${\displaystyle K'(м)=K(1-м)}$${\displaystyle q(м)=e^{-\пи К'(м)/К(м)}}$

Обратите внимание, что функции θ _p (z,m) иногда определяются в терминах нома q(m) и записываются как θ _p (z,q) (например, NIST ^[5] ). Функции также могут быть записаны в терминах параметра τ θ _p (z|τ) , где .${\displaystyle q=e^{i\pi \tau}}$

Тета-функции Невилла могут быть выражены через тета-функции Якоби ^[5]

${\displaystyle \theta _{s}(z|\tau)=\theta _{3}^{2}(0|\tau)\theta _{1}(z'|\tau)/\theta '_ {1}(0|\тау)}$

${\displaystyle \theta _ {c}(z|\tau)=\theta _{2}(z'|\tau)/\theta _{2}(0|\tau)}$

${\displaystyle \theta _{n}(z|\tau)=\theta _{4}(z'|\tau)/\theta _{4}(0|\tau)}$

${\displaystyle \theta _{d}(z|\tau)=\theta _{3}(z'|\tau)/\theta _{3}(0|\tau)}$

где .${\displaystyle z'=z/\theta _{3}^{2}(0|\tau)}$

Тета-функции Невилла связаны с эллиптическими функциями Якоби . Если pq(u,m) — эллиптическая функция Якоби (p и q — одно из s,c,n,d), то

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{p}(u,m)}{\theta _{q}(u,m)}}.}$

• ${\displaystyle \theta _{c}(2,5,0,3)\approx -0,65900466676738154967}$
• ${\displaystyle \theta _{d}(2,5,0,3)\приблизительно 0,95182196661267561994}$
• ${\displaystyle \theta _{n}(2,5,0,3)\приблизительно 1,0526693354651613637}$
• ${\displaystyle \theta _{s}(2,5,0,3)\приблизительно 0,82086879524530400536}$

• ${\ displaystyle \ theta _ {c} (z, m) = \ theta _ {c} (-z, m)}$
• ${\displaystyle \theta _{d}(z,m)=\theta _{d}(-z,m)}$
• ${\displaystyle \theta _{n}(z,m)=\theta _{n}(-z,m)}$
• ${\displaystyle \theta _{s}(z,m)=-\theta _{s}(-z,m)}$

• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Невилл, Э. Х. (Эрик Гарольд) (1944). Якобианские эллиптические функции. Oxford Clarendon Press.
• Вайсштейн, Эрик В. «Тета-функции Невилла». MathWorld .