Отрицательное мультиномиальное распределение
Обозначение Нью-Мексико ( х 0 , п ) {\displaystyle {\textrm {НМ}}(x_{0},\,\mathbf {p} )}
Параметры х 0 > 0 {\displaystyle x_{0}>0} — число неудач до остановки эксперимента, ∈ R m — m -вектор вероятностей «успеха»,
п {\displaystyle \mathbf {п} }
p 0 = 1 − ( p 1 +…+ p m ) — вероятность «отказа».
Поддерживать х я ∈ { 0 , 1 , 2 , … } , 1 ≤ я ≤ м {\displaystyle x_{i}\in \{0,1,2,\ldots \},1\leq i\leq m}
ПМФ Г ( ∑ я = 0 м х я ) п 0 х 0 Г ( х 0 ) ∏ я = 1 м п я х я х я ! , {\displaystyle \Гамма \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {p_{0}^{x_{0}}}{\Gamma (x_{0})}}\prod _{i=1}^{m}{\frac {p_{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}},}
где Γ( x ) — гамма-функция .
Иметь в виду х 0 п 0 п {\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\mathbf {p} }
Дисперсия х 0 п 0 2 п п ′ + х 0 п 0 диаг ⁡ ( п ) {\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {pp} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\, \operatorname {diag} (\mathbf {p} )}
МГФ ( п 0 1 − ∑ дж = 1 м п дж е т дж ) х 0 {\displaystyle {\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{m}p_{j}e^{t_{j}}}}{\bigg )}^{\!x_{0}}}
CF ( п 0 1 − ∑ дж = 1 м п дж е я т дж ) х 0 {\displaystyle {\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{m}p_{j}e^{it_{j}}}}{\bigg )}^{\!x_{0}}}

В теории вероятностей и статистике отрицательное полиномиальное распределение является обобщением отрицательного биномиального распределения (NB( x 0 ,  p )) на более чем два результата. [1]

Как и в случае с одномерным отрицательным биномиальным распределением, если параметр является положительным целым числом, отрицательное полиномиальное распределение имеет интерпретацию модели urn . Предположим, что у нас есть эксперимент, который генерирует m +1≥2 возможных результатов, { X 0 ,..., X m }, каждый из которых происходит с неотрицательными вероятностями { p 0 ,..., p m } соответственно. Если бы выборка продолжалась до тех пор, пока не было сделано n наблюдений, то { X 0 ,..., X m } были бы распределены полиномиально . Однако, если эксперимент останавливается, как только X 0 достигает предопределенного значения x 0 (предполагая, что x 0 является положительным целым числом), то распределение m -кортежа { X 1 ,..., X m } является отрицательным полиномиальным . Эти переменные не распределены полиномиально, потому что их сумма X 1 +...+ X m не фиксирована, будучи ничьей из отрицательного биномиального распределения . х 0 {\displaystyle x_{0}}

Характеристики

Предельные распределения

Если m -мерное x разбить следующим образом и соответственно и пусть Х = [ Х ( 1 ) Х ( 2 ) ]  с размерами  [ н × 1 ( м − н ) × 1 ] {\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\mathbf {X} ^{(1)}\\\mathbf {X} ^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ с размерами }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(mn)\times 1\end{bmatrix}}} п {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} п = [ п ( 1 ) п ( 2 ) ]  с размерами  [ н × 1 ( м − н ) × 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {p}}^{(1)}\\{\boldsymbol {p}}^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ с размерами }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(mn)\times 1\end{bmatrix}}} д = 1 − ∑ я п я ( 2 ) = п 0 + ∑ я п я ( 1 ) {\displaystyle q=1-\sum _{i}p_{i}^{(2)}=p_{0}+\sum _{i}p_{i}^{(1)}}

Предельное распределение равно . То есть предельное распределение также является отрицательным многочленом с удаленными и оставшимися p , масштабированными надлежащим образом, чтобы в сумме дать единицу. Х ( 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {X}}^{(1)}} Н М ( х 0 , п 0 / д , п ( 1 ) / д ) {\displaystyle \mathrm {NM} (x_{0},p_{0}/q, {\boldsymbol {p}}^{(1)}/q)} п ( 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{(2)}}

Говорят , что одномерная маргинальная величина имеет отрицательное биномиальное распределение. м = 1 {\displaystyle м=1}

Условные распределения

Условное распределение задано таково : . То есть, Х ( 1 ) {\displaystyle \mathbf {X} ^{(1)}} Х ( 2 ) = х ( 2 ) {\displaystyle \mathbf {X} ^{(2)}=\mathbf {x} ^{(2)}} Н М ( х 0 + ∑ х я ( 2 ) , п ( 1 ) ) {\textstyle \mathrm {NM} (x_{0}+\sum {x_{i}^{(2)}},\mathbf {p} ^{(1)})} Пр ( х ( 1 ) ∣ х ( 2 ) , х 0 , п ) = Г ( ∑ я = 0 м х я ) ( 1 − ∑ я = 1 н п я ( 1 ) ) х 0 + ∑ я = 1 м − н х я ( 2 ) Г ( х 0 + ∑ я = 1 м − н х я ( 2 ) ) ∏ я = 1 н ( п я ( 1 ) ) х я ( х я ( 1 ) ) ! . {\displaystyle \Pr(\mathbf {x} ^{(1)}\mid \mathbf {x} ^{(2)},x_{0},\mathbf {p} )=\Gamma \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {(1-\sum _{i=1}^{n}{p_{i}^{(1)}})^{x_{0}+\sum _{i=1}^{mn}x_{i}^{(2)}}}{\Gamma (x_{0}+\sum _{i=1}^{mn}x_{i}^{(2)})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(p_{i}^{(1)})^{x_{i}}}{(x_{i}^{(1)})!}}.}

Независимые суммы

Если и Если независимы , то . Аналогично и наоборот, из характеристической функции легко видеть, что отрицательный многочлен бесконечно делим . Х 1 ∼ Н М ( г 1 , п ) {\displaystyle \mathbf {X} _{1}\sim \mathrm {NM} (r_{1},\mathbf {p})} Х 2 ∼ Н М ( г 2 , п ) {\displaystyle \mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{2},\mathbf {p})} Х 1 + Х 2 ∼ Н М ( г 1 + г 2 , п ) {\displaystyle \mathbf {X} _{1}+\mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {НМ} (r_{1}+r_{2},\mathbf {p} )}

Агрегация

Если тогда, если случайные величины с индексами i и j выбросить из вектора и заменить их суммой, Х = ( Х 1 , … , Х м ) ∼ Нью-Мексико ⁡ ( х 0 , ( п 1 , … , п м ) ) {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {НМ} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{m}))} Х ′ = ( Х 1 , … , Х я + Х дж , … , Х м ) ∼ Нью-Мексико ⁡ ( х 0 , ( п 1 , … , п я + п дж , … , п м ) ) . {\displaystyle \mathbf {X} '=(X_{1},\ldots ,X_{i}+X_{j},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{i}+p_{j},\ldots ,p_{m})).}

Это свойство агрегации может быть использовано для получения предельного распределения, упомянутого выше. Х я {\displaystyle X_{i}}

Матрица корреляции

Записи корреляционной матрицы : ρ ( Х я , Х я ) = 1. {\displaystyle \rho (X_{i},X_{i})=1.} ρ ( Х я , Х дж ) = ков ⁡ ( Х я , Х дж ) вар ⁡ ( Х я ) вар ⁡ ( Х дж ) = п я п дж ( п 0 + п я ) ( п 0 + п дж ) . {\displaystyle \rho (X_{i},X_{j})={\frac {\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {var} (X_{i})\operatorname {var} (X_{j})}}}={\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(p_{0}+p_{i})(p_{0}+p_{j})}}}.}

Оценка параметров

Метод моментов

Если мы допустим, что средний вектор отрицательного многочлена будет и матрица ковариации , то легко показать с помощью свойств определителей , что . Из этого можно показать, что и μ = x 0 p 0 p {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {x_{0}}{p_{0}}}\mathbf {p} } Σ = x 0 p 0 2 p p ′ + x 0 p 0 diag ⁡ ( p ) , {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {p} \mathbf {p} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\operatorname {diag} (\mathbf {p} ),} | Σ | = 1 p 0 ∏ i = 1 m μ i {\textstyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|={\frac {1}{p_{0}}}\prod _{i=1}^{m}{\mu _{i}}} x 0 = ∑ μ i ∏ μ i | Σ | − ∏ μ i {\displaystyle x_{0}={\frac {\sum {\mu _{i}}\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}}} p = | Σ | − ∏ μ i | Σ | ∑ μ i μ . {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|\sum {\mu _{i}}}}{\boldsymbol {\mu }}.}

Подстановка моментов выборки дает метод оценок моментов и x ^ 0 = ( ∑ i = 1 m x i ¯ ) ∏ i = 1 m x i ¯ | S | − ∏ i = 1 m x i ¯ {\displaystyle {\hat {x}}_{0}={\frac {(\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x_{i}}})}\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}{|\mathbf {S} |-\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}}} p ^ = ( | S | − ∏ i = 1 m x ¯ i | S | ∑ i = 1 m x ¯ i ) x ¯ {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\left({\frac {|{\boldsymbol {S}}|-\prod _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}{|{\boldsymbol {S}}|\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}}\right){\boldsymbol {\bar {x}}}}

Ссылки

  1. ^ Ле Галл, Ф. Моды отрицательного мультиномиального распределения, Statistics & Probability Letters, том 76, выпуск 6, 15 марта 2006 г., страницы 619–624, ISSN 0167–7152, 10.1016/j.spl.2005.09.009.

Уоллер ЛА и Зелтерман Д. (1997). Логлинейное моделирование с отрицательным мультиномиальным распределением. Биометрия 53: 971–82.

Дальнейшее чтение

Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1997). "Глава 36: Отрицательные многочлены и другие многочленные распределения". Дискретные многомерные распределения . Wiley. ISBN 978-0-471-12844-1.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Negative_multinomial_distribution&oldid=1137560139"