Теорема Нагелла–Лутца

В математике теорема Нагелла –Лутца является результатом диофантовой геометрии эллиптических кривых , описывающей рациональные точки кручения на эллиптических кривых над целыми числами. Она названа в честь Трюгве Нагелла и Элизабет Лутц .

Предположим, что уравнение

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c}$

определяет неособую кубическую кривую с целыми коэффициентами a , b , c , и пусть D будет дискриминантом кубического полинома в правой части:

${\displaystyle D=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}.}$

Если P = ( x , y ) — рациональная точка конечного порядка на C , для закона группы эллиптических кривых , то:

• 1) x и y — целые числа
• 2) либо y = 0, и в этом случае P имеет порядок два, либо y делит D , что немедленно означает, что y ² делит D.

Теорема Нагелла–Лутца обобщается на произвольные числовые поля и более общие кубические уравнения. ^[1] Для кривых над рациональными числами обобщение гласит, что для неособой кубической кривой, форма Вейерштрасса которой

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

имеет целые коэффициенты, любая рациональная точка P =( x , y ) конечного порядка должна иметь целые координаты или иметь порядок 2 и координаты вида x = m /4, y = n /8, для целых чисел m и n .

Результат назван в честь двух его независимых первооткрывателей: норвежца Трюгве Нагеля (1895–1988), опубликовавшего его в 1935 году, и Элизабет Лутц (1937).

• Теорема Морделла–Вейля

• Элизабет Лутц (1937). «Sur l'équation y ² = x ³ - Ax - B в корпусе p -adiques». Дж. Рейн Анжью. Математика. 177 : 237–247.
• Джозеф Х. Сильверман , Джон Тейт (1994), «Рациональные точки на эллиптических кривых», Springer, ISBN 0-387-97825-9 .