Теорема Массельмана

В евклидовой геометрии теорема Массельмана является свойством некоторых окружностей, определяемых произвольным треугольником .

В частности, пусть будет треугольником, и , , и его вершинами . Пусть , , и будут вершинами треугольника отражения , полученного путем зеркального отражения каждой вершины относительно противоположной стороны. ^[1] Пусть будет центром описанной окружности . Рассмотрим три окружности , , и , определенные точками , , и , соответственно. Теорема гласит, что эти три окружности Массельмана встречаются в точке , которая является обратной по отношению к центру описанной окружности изогонального сопряжения или девятиточечного центра . [ ^2]${\displaystyle Т}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle С}$${\displaystyle А^{*}}$${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle С^{*}}$${\displaystyle Т^{*}}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle О}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle S_{A}}$${\displaystyle S_{B}}$${\displaystyle S_{C}}$${\displaystyle А\,О\,А^{*}}$${\displaystyle B\,O\,B^{*}}$${\displaystyle C\,O\,C^{*}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle Т}$

Общая точка — это точка в списке центров треугольников Кларка Кимберлинга . ^{[2] [3]}${\displaystyle М}$${\displaystyle X_{1157}}$

Теорема была предложена как сложная задача Джоном Роджерсом Массельманом и Рене Гурмахти в 1939 году ^[4] , а доказательство было представлено ими в 1941 году ^[5]. Обобщение этого результата было сформулировано и доказано Гурмахти. ^[6]

Обобщение теоремы Массельмана, сделанное Гурмахти, не упоминает окружности явно.

Как и прежде, пусть , , и будут вершинами треугольника , и его центром описанной окружности. Пусть будет ортоцентром , то есть пересечением его трех высотных линий . Пусть , , и будут тремя точками на отрезках , , и , такими, что . Рассмотрим три прямые , , и , перпендикулярные , , и через точки , , и , соответственно. Пусть , , и будут пересечениями этих перпендикуляров с прямыми , , и , соответственно.${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle С}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle О}$${\displaystyle H}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle А'}$${\displaystyle B'}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle ОА}$${\displaystyle ОБ}$${\displaystyle OC}$${\displaystyle OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC=t}$${\displaystyle L_{A}}$${\displaystyle L_{B}}$${\displaystyle L_{C}}$${\displaystyle ОА}$${\displaystyle ОБ}$${\displaystyle OC}$${\displaystyle А'}$${\displaystyle B'}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle P_{A}}$${\displaystyle P_{B}}$${\displaystyle P_{C}}$${\displaystyle до н.э.}$${\displaystyle СА}$${\displaystyle AB}$

В 1884 году Джозеф Нойберг заметил , что три точки , и лежат на одной прямой . ^[7] Пусть будет проекцией центра описанной окружности на прямую , а точка на такую, что . Гурмахти доказал, что является обратной по отношению к описанной окружности изогональной сопряженной точки на прямой Эйлера , такой, что . ^{[8] [9]}${\displaystyle P_{A}}$${\displaystyle P_{B}}$${\displaystyle P_{C}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle О}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N'}$${\displaystyle ВКЛ}$${\displaystyle ВКЛ'/ВКЛ=т}$${\displaystyle N'}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle ОН}$${\displaystyle QH/QO=2t}$