Мультипликативный цифровой корень

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Мультипликативный цифровой корень» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теории чисел мультипликативный цифровой корень натурального числа в данной системе счисления находится путем умножения цифр числа друг на друга, а затем повторения этой операции до тех пор, пока не останется только одна цифра, которая называется мультипликативным цифровым корнем числа . ^{[1] [2]} Мультипликативный цифровой корень для первых нескольких положительных целых чисел равен:${\displaystyle n}$ ${\displaystyle б}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 2, 8, 4, 0. (последовательность A031347 в OEIS )

Мультипликативные цифровые корни являются мультипликативным эквивалентом цифровых корней .

Пусть будет натуральным числом. Определим произведение цифр по основанию следующим образом:${\displaystyle n}$${\displaystyle б>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

где - количество цифр в числе в базе , а${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle б}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

— значение каждой цифры числа. Натуральное число является мультипликативным цифровым корнем , если оно является неподвижной точкой для , что происходит, если . ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Например, в системе счисления 0 является мультипликативным цифровым корнем числа 9876, как показано ниже. ${\displaystyle b=10}$

${\displaystyle F_{10}(9876)=(9)(8)(7)(6)=3024}$

${\displaystyle F_{10}(3024)=(3)(0)(2)(4)=0}$

${\displaystyle F_{10}(0)=0}$

Все натуральные числа являются предпериодическими точками для , независимо от основания. Это потому, что если , то${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle n\geq b}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$

и поэтому

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}=d_{k-1}\prod _{i=0}^{k-2}d_{i}<d_{k-1}b^{k-1}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

Если , то тривиально ${\displaystyle n<b}$

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Следовательно, единственными возможными мультипликативными цифровыми корнями являются натуральные числа , и не существует никаких циклов, кроме неподвижных точек . ${\displaystyle 0\leq n<b}$${\displaystyle 0\leq n<b}$

Число итераций, необходимых для достижения фиксированной точки, является мультипликативной устойчивостью . Мультипликативная устойчивость не определена, если она никогда не достигает фиксированной точки.${\displaystyle я}$${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$${\displaystyle n}$

В десятичной системе счисления предполагается, что не существует чисел с мультипликативной устойчивостью : известно, что это верно для чисел . ^{[3] [4]} Наименьшие числа с устойчивостью 0, 1, ...:${\displaystyle я>11}$${\displaystyle n\leq 10^{20585}}$

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. (последовательность A003001 в OEIS )

Поиск этих чисел можно ускорить, используя дополнительные свойства десятичных цифр этих рекордных чисел. Эти цифры должны быть отсортированы, и, за исключением первых двух цифр, все цифры должны быть 7, 8 или 9. Существуют также дополнительные ограничения на первые две цифры. Исходя из этих ограничений, количество кандидатов на -значные числа с рекордной устойчивостью пропорционально только квадрату , крошечной доле всех возможных -значных чисел. Однако любое число, отсутствующее в последовательности выше, будет иметь мультипликативную устойчивость > 11; такие числа, как полагают, не существуют, и должны иметь более 20 000 цифр, если они существуют. ^[3]${\displaystyle к}$${\displaystyle к}$${\displaystyle к}$

Мультипликативный цифровой корень можно распространить на отрицательные целые числа, используя знаковое цифровое представление для представления каждого целого числа.

В приведенном ниже примере реализовано произведение цифр, описанное в определении выше, для поиска мультипликативных цифровых корней и мультипликативных постоянств в Python .

def  digit_product ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  если  x  ==  0 :  вернуть  0  итого  =  1  while  x  >  1 :  если  x  %  b  ==  0 :  вернуть  0  если  x  %  b  >  1 :  итого  =  итого  *  ( x  %  b )  x  =  x  //  b  вернуть  итогоdef  multiplicative_digital_root ( x :  int ,  b  : int )  ->  int :  seen  =  []  пока  x  не  в  seen :  seen . append ( x )  x  =  digit_product ( x ,  b )  return  xdef  multiplicative_persistence ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  seen  =  []  пока  x  не  в  seen :  seen . append ( x )  x  =  digit_product ( x ,  b )  return  len ( seen )  -  1

• Арифметическая динамика
• Сумма цифр
• Цифровой корень
• Сумма-произведение числа

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . С. 398–399. ISBN 978-0-387-20860-2. Збл  1058.11001.

• Что особенного в 277777788888899? - Numberphile на YouTube (21 марта 2019 г.)