Многофакторные модели

В математических финансах многофакторные модели — это модели ценообразования активов , которые можно использовать для оценки ставки дисконтирования для оценки финансовых активов; в свою очередь, их можно использовать для управления риском портфеля . Они, как правило, являются расширениями однофакторной модели ценообразования капитальных активов (CAPM).

Многофакторная модель риска акций была впервые разработана Барром Розенбергом и Винаем Марате. ^[1] Первоначально они предложили линейную модель бета

 ${\displaystyle r(i,t)-r(0,t)=b(i,t)[m(t)-r(0,t)]+g(i,t)}$ ${\displaystyle b(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(j,t)+e(i,t)}$

где — доходность собственного капитала в период , — безрисковая доходность, — доходность рыночного индекса, — остаточная доходность рынка, — параметр, подобранный с помощью регрессии временного ряда по истории до момента времени t. Затем — значения подверженности риску, рассчитанные на основе фундаментальных и технических данных, — доходность факторов, определяемая с помощью кросс-секционной регрессии для каждого периода времени, и — остатки регрессии. Эта модель была переформулирована Розенбергом и др. в прямую модель доходности активов,${\displaystyle r(i,t)}$${\displaystyle я}$${\displaystyle [т,т+1]}$${\displaystyle r(0,t)}$${\displaystyle m(t)}$${\displaystyle e(i,t)}$${\displaystyle b(i,t)}$${\displaystyle X(i,j,t)}$${\displaystyle f(j,t)}$${\displaystyle g(i,t)}$

 ${\displaystyle r(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(i,j)+e(i,t)}$

Здесь доходность факторов и удельная доходность подгоняются с помощью взвешенной регрессии за каждый период времени для представительной вселенной активов. Например, модель может быть подобрана для 3000 самых капитализированных обыкновенных акций США. Основное применение модели заключается в оценке ковариационной матрицы доходности активов по активам с помощью уравнения ${\displaystyle f(j,t)}$${\displaystyle e(i,t)}$${\displaystyle т}$${\displaystyle С}$

 ${\displaystyle C=XFX^{t}+D}$

где — ковариационная матрица доходности факторов, а — блочно-диагональная матрица удельной доходности. Затем матрица используется для построения портфеля Марковица, что подразумевает максимизацию квадратичной функции полезности${\displaystyle F}$${\displaystyle D}$${\displaystyle С}$

 ${\displaystyle u(h)=a^{t}h-kh^{t}Ch}$

при условии линейных ограничений на вектор активов . Здесь a — вектор ожидаемой доходности, а — скалярный параметр, называемый неприятием риска.${\displaystyle ч}$${\displaystyle к}$

Николо Г. Торре внес ряд усовершенствований в эту структуру, что существенно заострило контроль риска, достижимый этими средствами. ^[2] В модели Розенберга индексы риска X состояли из отраслевых весов и индексов риска. Каждому активу будет предоставлена ​​экспозиция в одной или нескольких отраслях, например, на основе разбивки баланса фирмы или отчета о прибылях и убытках на отраслевые сегменты. Эти отраслевые экспозиции будут в сумме равняться 1 для каждого актива. Таким образом, модель не имела явного рыночного фактора, а вместо этого рыночная доходность проецировалась на отраслевую доходность. Торре изменил эту схему, введя явный рыночный фактор (с единичной экспозицией для каждого актива). Чтобы сохранить идентификацию модели, наложил условие, что отраслевой фактор возвращает сумму к нулю в каждый период времени. Таким образом, модель оценивается как

 ${\displaystyle f(i,t)=m(t)+\sum _{j}X(i,j,t)f(j,t)+e(i,t)}$

при условии

 ${\displaystyle \sum _{k}f(k,t)=0}$для всех${\displaystyle т}$

где сумма по отраслевым факторам. Здесь m(t) — рыночная доходность. Явное определение рыночного фактора затем позволило Торре оценить дисперсию этого фактора с использованием модели GARCH(1,1) с кредитным плечом, разработанной Робертом Энглом и Тимом Боллерслевым

 s^2(t)=w+as^2(t-1)+ b1 fp(m(t-1))^2 + b2 fm(m(t-1))^2

Здесь

 fp(x)=x для x>0 0 для х<=0

 fm(x)=0 для x>=0 х для х<0

и w, a, b1 и b2 — параметры, подобранные из оценок длинных временных рядов с использованием методов максимального правдоподобия. Эта модель обеспечивает быстрое обновление рыночной дисперсии, которая включается в обновление F, что приводит к более динамичной модели риска. В частности, она учитывает конвергенцию доходности активов и последующую потерю диверсификации, которая происходит в портфелях в периоды рыночной турбулентности.

В модели риска отраслевые факторы несут около половины объяснительной силы после учета рыночного эффекта. Однако Розенберг не решил, как следует определять отраслевые группировки, решив просто положиться на обычный набор отраслей. Определение отраслевых групп является проблемой в таксономии. Основная трудность заключается в том, что отрасль определяется членами, назначенными ей, но к какой отрасли следует отнести отдельный капитал, часто неясно. Трудности можно уменьшить, введя большое количество узко определенных отраслей, но этот подход противоречит требованиям оценки риска. Для надежных оценок риска мы предпочитаем умеренное количество отраслей, при этом каждая отрасль представляет несколько процентных пунктов рыночной капитализации и не доминирует исключительно крупнейшая компания в отрасли. Торре решил эту проблему, введя несколько сотен узко определенных мини-отраслей, а затем применив методы направленной кластеризации, чтобы объединить мини-отрасли в отраслевые группировки, подходящие для оценки риска.

В первоначальном подходе Розенберга предполагается, что фактор и конкретная доходность распределены нормально. Однако опыт показывает ряд выпадающих наблюдений, которые слишком велики и слишком часты, чтобы соответствовать нормальному распределению. Хотя введение рыночного фактора GARCH частично уменьшает эту трудность, оно не устраняет ее. Торре показал, что распределения доходности можно моделировать как смесь нормального распределения и распределения скачков. В случае одного фактора модель смешивания легко устанавливается. Каждый период времени t имеет бинарную переменную смешивания b(t). Если b(t)=0, то доходность фактора в этот период извлекается из нормального распределения, а если b(t)=1, то из распределения скачков. Торре обнаружил, что в факторах происходят одновременные скачки. Соответственно, в многомерном случае необходимо ввести многомерный вектор шока w(i,t), где w(i,t)=0, если многомерная переменная смешивания b(i,t)=0, а w(i,t) извлекается из i-го распределения скачков, если b(i,t)=1. Затем матрица передачи T отображает w из пространства шоков в пространство факторов. Торре обнаружил, что рынок, фактор и конкретная доходность могут быть описаны смесью нормальной доходности и распределенных по степенному закону шоков, происходящих с низкой частотой. Это уточнение моделирования существенно улучшает производительность модели в отношении экстремальных событий. Таким образом, это делает возможным построение портфелей, которые ведут себя более ожидаемым образом в периоды рыночной турбулентности.

Хотя изначально многофакторная модель риска была разработана для рынка акций США, она быстро распространилась на другие рынки акций и другие типы ценных бумаг, такие как облигации и опционы на акции. Затем возникает проблема построения модели риска для нескольких классов активов. Первый подход был разработан Беккерсом, Раддом и Стефеком для мирового рынка акций. Они оценили модель, включающую валюту, страну, глобальные отрасли и глобальные индексы риска. Эта модель хорошо работала для портфелей, созданных сверху вниз, сначала выбирая страны, а затем выбирая активы внутри стран. Она была менее успешной для портфелей, созданных снизу вверх, в которых портфели внутри стран сначала выбирались специалистами по странам, а затем применялось глобальное наложение. Кроме того, глобальная модель, применяемая к портфелю одной страны, часто противоречила модели местного рынка. Торре решил эти трудности, введя двухэтапный факторный анализ. Первый этап состоит из подгонки ряда локальных факторных моделей знакомой формы, что приводит к набору доходностей факторов f(i,j,t), где f(i,j,t) — доходность фактора i в j-й локальной модели в момент времени t. Затем доходность факторов подгоняется под модель второго этапа в форме

 ${\displaystyle f(i,j,t)=\sum _{k}Y(i,j,k)g(k,t)+h(i,j,t)}$

Здесь Y дает воздействие локального фактора (i,j) на глобальный фактор, доходность которого равна g(k,t), а h(i,j,t) — доходность локального конкретного фактора. Ковариационная матрица доходностей факторов оценивается как ${\displaystyle к^{т}ч}$

${\displaystyle \mathbf {F=YGY^{t}+H} }$

где G — ковариационная матрица глобальных факторов, а H — блочно-диагональные ковариации доходностей локальных специфических факторов. Этот подход к моделированию позволяет склеивать любое количество локальных моделей вместе для обеспечения комплексного анализа нескольких классов активов. Это особенно актуально для глобальных портфелей акций и для управления рисками в масштабах предприятия.

Многофакторная модель риска с обсуждаемыми выше усовершенствованиями является доминирующим методом контроля риска в профессионально управляемых портфелях. По оценкам, более половины мирового капитала управляется с использованием таких моделей.

Многие ученые пытались построить факторные модели с довольно небольшим числом параметров. К ним относятся:

• Трехфакторная модель Фамы–Френча
• Четырехфакторная модель Кархарта
• Теория арбитражного ценообразования

Однако пока еще нет единого мнения о том, сколько факторов существует. ^[3] Существует множество коммерческих моделей, включая модели MSCI и факторную модель управления активами Goldman Sachs . ^[4]