Многомерная спектральная оценка

Многомерная спектральная оценка представляет собой обобщение спектральной оценки , обычно формулируемой для одномерных сигналов , на многомерные сигналы или многомерные данные , такие как волновые векторы .

Мотивация

Многомерная спектральная оценка приобрела популярность благодаря своему применению в таких областях, как медицина, космонавтика, сонар, радар, биоинформатика и геофизика. В недавнем прошлом был предложен ряд методов для разработки моделей с конечными параметрами для оценки спектра мощности многомерных сигналов. В этой статье мы рассмотрим основы методов, используемых для оценки спектра мощности многомерных сигналов.

Приложения

Существует множество приложений спектральной оценки многомерных сигналов, таких как классификация сигналов как низкочастотных, высокочастотных, полосовых и полосовых. Она также используется при сжатии и кодировании аудио- и видеосигналов, формировании луча и пеленгации в радарах , [1] оценке и обработке сейсмических данных , массивах датчиков и антенн и вибрационном анализе. В области радиоастрономии [1] она используется для синхронизации выходов массива телескопов.

Основные понятия

В одномерном случае сигнал характеризуется амплитудой и временной шкалой. Основные концепции, используемые в спектральной оценке, включают автокорреляцию , многомерное преобразование Фурье , среднеквадратичную ошибку и энтропию . [2] Когда дело доходит до многомерных сигналов, существует два основных подхода: использовать банк фильтров или оценить параметры случайного процесса для оценки спектра мощности.

методы спектральной оценки

Методы

Классическая теория оценки

классическая оценка

Это метод оценки спектра мощности одномерного или многомерного сигнала, поскольку он не может быть рассчитан точно. Даны образцы стационарного случайного процесса в широком смысле и его статистики второго порядка (измерения). Оценки получены путем применения многомерного преобразования Фурье автокорреляционной функции случайного сигнала. Оценка начинается с вычисления периодограммы, которая получается путем возведения в квадрат величины многомерного преобразования Фурье измерений ri(n). Спектральные оценки, полученные из периодограммы, имеют большую дисперсию по амплитуде для последовательных выборок периодограммы или по волновому числу. Эта проблема решается с помощью методов, которые составляют классическую теорию оценки. Они следующие: 1. Бартлетт предложил метод, который усредняет спектральные оценки для вычисления спектра мощности. Измерения делятся на равноотстоящие сегменты во времени, и берется среднее. Это дает лучшую оценку. [3] 2. На основе волнового числа и индекса приемника/выхода мы можем разделить сегменты. Это увеличивает спектральные оценки и уменьшает дисперсии между последовательными сегментами. 3. Уэлч предложил, что мы должны разделить измерения с помощью функций окна данных, вычислить периодограмму, усреднить их, чтобы получить спектральную оценку, и вычислить спектр мощности с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ). Это увеличивает скорость вычислений. [4] 4. Окно сглаживания поможет нам сгладить оценку, умножив периодограмму на сглаживающий спектр. Чем шире главный лепесток сглаживающего спектра, тем он становится более гладким за счет разрешения по частоте. [2]

П ( К х , ж ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ φ с с ( х , т )   е − дж ( ж т − к ′ х ) г х г т {\displaystyle P\left(K_{x},w\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{ss}\left(x,t\right)\ e^{-j\left(wt-k'x\right)}\,dx\,dt}
φ s s ( x , t ) = s [ ( ξ , τ ) s ∗ ( ξ − x , τ − t ) ] {\displaystyle \varphi _{ss}\left(x,t\right)=s\left[\left(\xi ,\tau \right)s^{*}\left(\xi -x,\tau -t\right)\right]} [2]
P B ( w ) = 1 d e t N ∑ l | ∑ n   x ( n + M I )   e − j ( w ′ n ) | 2 {\displaystyle P_{B}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}\sum _{l}|\sum _{n}\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}} Дело Бартлетта [2]
P M ( w ) = 1 d e t N | ∑ n   g ( n )   x ( n )   e − j ( w ′ n ) | 2 {\displaystyle P_{M}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}} Модифицированная периодограмма [2]
P W ( w ) = 1 d e t N ∑ l | ∑ n   g ( n )   x ( n + M I )   e − j ( w ′ n ) | 2 {\displaystyle P_{W}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}\sum _{l}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}} Дело Уэлча [2]
Преимущества
Простой метод, включающий преобразования Фурье.
Ограничения
  1. Поскольку некоторые из вышеперечисленных методов производят выборку последовательности во времени, частотное разрешение снижается (наложение спектров).
  2. Число случаев стационарного случайного процесса в широком смысле меньше, что затрудняет точный расчет оценок.

Спектральные оценки высокого разрешения

Этот метод дает лучшую оценку, разрешение по частоте которой выше, чем у классической теории оценки. В методе оценки с высоким разрешением мы используем переменное окно волнового числа, которое допускает только определенные волновые числа и подавляет другие. Работа Кейпона [5] помогла нам установить метод оценки с использованием компонентов волновое число-частота. Это приводит к оценке с более высоким разрешением по частоте. Он похож на метод максимального правдоподобия, поскольку используемый инструмент оптимизации похож.

Предположение
Выходные данные, полученные от датчиков, представляют собой стационарный случайный процесс в широком смысле с нулевым средним значением. [6]
P C ( K o x , w o ) = E [ | y ( i , n ) | 2 ] = 1 ∑ α = 0 N − 1 ∑ β = 0 M − 1 ∑ l = 0 N − 1 ∑ m = 0 M − 1 ψ e ( l , α ; m , β ) {\displaystyle P_{C}\left(K_{o}x,w_{o}\right)=E\left[|y\left(i,n\right)|^{2}\right]={\frac {1}{\sum _{\alpha =0}^{N-1}\sum _{\beta =0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}\psi _{e}\left(l,\alpha ;m,\beta \right)}}} [2]
Преимущества
  1. Более высокое разрешение по частоте по сравнению с другими существующими методами.
  2. Более точная оценка частоты, поскольку мы используем переменное волновое окно по сравнению с классическим методом, который использует фиксированное волновое окно.
  3. Более высокая скорость вычислений, поскольку используется БПФ.

Разделяемая спектральная оценка

В этом типе оценки мы выбираем многомерный сигнал как разделимую функцию. [1] Благодаря этому свойству мы сможем последовательно рассматривать анализ Фурье, происходящий в нескольких измерениях. Временная задержка в операции возведения в квадрат величины поможет нам обработать преобразование Фурье в каждом измерении. Дискретное время многомерного преобразования Фурье применяется вдоль каждого измерения, и в конце применяется оценка максимальной энтропии, и величина возводится в квадрат.

Преимущества
  1. Анализ Фурье является гибким, поскольку сигнал можно разделить.
  2. В отличие от других спектральных оценщиков он сохраняет фазовые компоненты каждого измерения.

Спектральное моделирование на всех полюсах

Этот метод является расширением одномерной техники, называемой авторегрессионной спектральной оценкой. В авторегрессионных моделях выходные переменные линейно зависят от своих собственных предыдущих значений. В этой модели оценка спектра мощности сводится к оценке коэффициентов из коэффициентов автокорреляции случайного процесса, которые, как предполагается, известны для конкретного региона. Спектр мощности случайного процесса определяется как: [2] P A ( k x , w ) {\displaystyle P_{A}(k_{x},w)} r ( i , n ) {\displaystyle r(i,n)}

P A ( k x , w ) = P e ( k x , w ) | 1 1 − A ( k x , w ) | 2 {\displaystyle P_{A}\left(k_{x},w\right)=P_{e}\left(k_{x},w\right)|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}|^{2}}

Выше представлен спектр мощности случайного процесса , который подается на вход системы с передаточной функцией для получения [2] и равен: P e ( k x , w ) {\displaystyle P_{e}\left(k_{x},w\right)} e ( i , n ) {\displaystyle e(i,n)} | 1 1 − A ( k x , w ) | {\displaystyle |{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}|} r ( i , n ) {\displaystyle r(i,n)} A ( k x , w ) {\displaystyle A\left(k_{x},w\right)}

A ( k x , w ) = ∑ p = o N − 1 ∑ q = 0 M − 1 a ( p , q ) e x p ( j k x p − j w q ) {\displaystyle A\left(k_{x},w\right)=\sum _{p=o}^{N-1}\sum _{q=0}^{M-1}a(p,q)exp(jk_{x}p-jwq)}

Таким образом, оценка мощности сводится к оценке коэффициентов из функции автокорреляции случайного процесса. Коэффициенты также могут быть оценены с использованием формулы линейного предсказания , которая занимается минимизацией среднеквадратической ошибки между фактическим случайным сигналом и предсказанными значениями случайного сигнала. a ( p , q ) {\displaystyle a\left(p,q\right)} φ ( l , m ) {\displaystyle \varphi \left(l,m\right)}

Ограничения
  1. В 1-D мы имеем то же самое количество линейных уравнений с тем же самым количеством неизвестных из-за свойства соответствия автокорреляции. Но это может быть невозможно в многомерном пространстве [2] , поскольку набор параметров не содержит достаточно степеней свободы для соответствия коэффициентам автокорреляции.
  2. Мы предполагаем, что массив коэффициентов ограничен определенной областью.
  3. В одномерной формулировке линейного предсказания обратный фильтр имеет свойство минимальной фазы, что доказывает, что фильтр стабилен. Это не всегда обязательно верно в многомерном случае.
  4. В одномерной формулировке матрица автокорреляции является положительно определенной, но в случае многомерной матрицы положительно определенное расширение может отсутствовать.

Спектральная оценка максимальной энтропии

Спектральная оценка максимальной энтропии.

В этом методе спектральной оценки мы пытаемся найти спектральную оценку, обратное преобразование Фурье которой соответствует известным коэффициентам автокорреляции. Мы максимизируем энтропию спектральной оценки так, чтобы она соответствовала коэффициентам автокорреляции. [2] Уравнение энтропии задается как: [1] [2]

H = 1 4 π 2 ∫ − π π ∫ − π π l o g P ( k x , w ) d k x d w {\displaystyle H={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }logP\left(k_{x},w\right)dk_{x}dw}

Спектр мощности может быть выражен как сумма известных коэффициентов автокорреляции и неизвестных коэффициентов автокорреляции. Путем корректировки значений неограниченных коэффициентов можно максимизировать энтропию. P ( k , w ) {\displaystyle P\left(k,w\right)}

Максимальная энтропия имеет вид: [2]

P M E = 1 ∑ l ∑ m λ ( l , m ) e x p ( j k x l − j w m ) {\displaystyle P_{ME}={\frac {1}{\sum _{l}\sum _{m}\lambda \left(l,m\right)exp\left(jk_{x}l-jwm\right)}}} [1]

λ(l,m) необходимо выбирать таким образом, чтобы известные коэффициенты автокорреляции совпадали.

Ограничения
  1. Имеет ограниченную оптимизацию. Ее можно преодолеть, используя метод множителей Лагранжа. [2]
  2. Оценка спектра всех полюсов не является решением для максимальной энтропии в многомерном случае, как в случае 1-D. Это происходит потому, что модель спектра всех полюсов не содержит достаточно степеней свободы для соответствия известным коэффициентам автокорреляции.
Преимущества
Ошибки при измерении или оценке известных коэффициентов автокорреляции могут быть учтены, поскольку точное совпадение не требуется.
Недостаток
Требуется слишком много вычислений.

Улучшенный метод максимального правдоподобия (IMLM)

Это относительно новый подход. Улучшенный метод максимального правдоподобия (IMLM) представляет собой комбинацию двух оценок MLM ( максимального правдоподобия ). [1] [7] Улучшенное максимальное правдоподобие двух двумерных массивов A и B при волновом числе k (дает информацию об ориентации массива в пространстве) задается соотношением: [8]

I M L M ( k : A , B ) = 1 1 M L M ( k : A ) − 1 M L M ( k : B ) {\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {1}{{\frac {1}{MLM\left(k:A\right)}}-{\frac {1}{MLM\left(k:B\right)}}}}} [7]

Массив B является подмножеством A. Поэтому, предполагая, что A>B, если есть разница между MLM A и MLM B, то значительная часть оцененной спектральной энергии на частоте может быть обусловлена ​​утечкой мощности с других частот. Деэмфаза MLM A может улучшить спектральную оценку. Это достигается путем умножения на взвешенную функцию, которая меньше, когда есть большая разница между MLA B и MLA A.

I M L M ( k : A , B ) = M L M ( k : A ) M L M ( k : B ) M L M ( k : B ) − M L M ( k : A ) {\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {MLM\left(k:A\right)MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}
I M L M ( k : A , B ) = M L M ( k : A ) W A B ( k ) {\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)=MLM\left(k:A\right)W_{AB}\left(k\right)}

где — весовая функция и задается выражением: [7] W A B ( k ) {\displaystyle W_{AB}\left(k\right)}

W A B ( k ) = M L M ( k : B ) M L M ( k : B ) − M L M ( k : A ) {\displaystyle W_{AB}\left(k\right)={\frac {MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}
Преимущества
  1. Используется как альтернатива MLM или MEM (метод максимальной энтропии/ принцип максимальной энтропии )
  2. IMLM имеет лучшее разрешение, чем MLM, и требует меньшего количества вычислений по сравнению с MEM [7] [8]

Ссылки

  1. ^ abcdef Джеймс Х. Макклеллан (1982). «Многомерная спектральная оценка». Труды IEEE . 70 (9): 1029– 1039. doi :10.1109/PROC.1982.12431.
  2. ^ abcdefghijklmn Дэн Э. Даджен, Рассел М. Мерсеро, «Многомерная цифровая обработка сигналов», Серия «Обработка сигналов» издательства Prentice-Hall, ISBN 0136049591 , стр. 315–338, 1983. 
  3. ^ Бартлетт, М.С., «Введение в стохастические процессы с особым упором на методы и приложения», Архив CUP, 1978, ISBN 0521215854 , doi : 10.1109/ATC.2010.5672752 
  4. ^ JD Welch (1967). «Использование быстрого преобразования Фурье для оценки спектров мощности: метод, основанный на усреднении по времени коротких модифицированных периодограмм». IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics . 15 (2): 70– 73. Bibcode : 1967ITAE...15...70W. doi : 10.1109/TAU.1967.1161901.
  5. ^ J.Capon (1969). «Анализ спектра частот и волновых чисел высокого разрешения». Труды IEEE . 57 (8): 1408– 1418. doi :10.1109/PROC.1969.7278.
  6. ^ Chrysostomos L. Nikias; Mysore R. Raghuveer (1983). «Новый класс алгоритмов высокоразрешающей и надежной многомерной спектральной оценки». ICASSP '83. Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . Том 8. С.  859– 862. doi :10.1109/ICASSP.1983.1172045.
  7. ^ abcd Dowla FU; Lim JS (1985). "Свойство разрешения улучшенного метода максимального правдоподобия". Свойство разрешения улучшенного метода максимального правдоподобия . Т. 10. С.  820– 822. doi :10.1109/ICASSP.1985.1168305.
  8. ^ ab Dowla FU; Lim JS (1985). "Новый алгоритм для двумерной спектральной оценки высокого разрешения". Труды IEEE . 71 (2): 284– 285. doi :10.1109/PROC.1983.12576.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Multidimensional_spectral_estimation&oldid=1234028524"