Неравенство Мьюирхеда

В математике неравенство Мюрхеда , названное в честь Роберта Франклина Мюрхеда , также известное как метод «группировки», обобщает неравенство средних арифметических и геометрических .

Для любого действительного вектора

${\displaystyle a=(a_{1},\точки,a_{n})}$

Определим « среднее а » [ a ] положительных действительных чисел x ₁ , ..., x _n как

${\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{a_{n}},}$

где сумма распространяется на все перестановки σ из { 1, ..., n }.

Когда элементы a являются неотрицательными целыми числами, a -среднее может быть эквивалентно определено через мономиальный симметричный многочлен как${\displaystyle m_{a}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle [a]={\frac {k_{1}!\cdots k_{l}!}{n!}}m_{a}(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

где ℓ — число различных элементов в a , а k ₁ , ..., k _ℓ — их кратности.

Обратите внимание, что a -среднее, как определено выше, обладает обычными свойствами среднего ( например, если среднее равных чисел равно им), если . В общем случае вместо этого можно рассмотреть , что называется средним Мьюирхеда. ^[1]${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}=1}$${\displaystyle [a]^{1/(a_{1}+\cdots +a_{n})}}$

Примеры

• Для a = (1, 0, ..., 0) среднее а является просто обычным арифметическим средним x 1 _, ..., x _n .
• Для a = (1/ n , ..., 1/ n ) среднее а является геометрическим средним x ₁ , ..., x _n .
• Для a = ( x , 1 − x ) среднее значение a является средним значением Хайнца .
• Среднее значение Мюрхеда для a = (−1, 0, ..., 0) является средним гармоническим .

Матрица P размера n × n является дважды стохастической в ​​точности тогда, когда и P , и ее транспонированная P ^T являются стохастическими матрицами . Стохастическая матрица — это квадратная матрица неотрицательных действительных элементов, в которой сумма элементов в каждом столбце равна 1. Таким образом, дважды стохастическая матрица — это квадратная матрица неотрицательных действительных элементов, в которой сумма элементов в каждой строке и сумма элементов в каждом столбце равна 1.

Неравенство Мьюирхеда утверждает, что [ a ] ​​≤ [ b ] для всех x таких, что x _i > 0 для каждого i ∈ { 1, ..., n } тогда и только тогда, когда существует некоторая дважды стохастическая матрица P , для которой a = Pb .

Более того, в этом случае мы имеем [ a ] = [ b ] тогда и только тогда, когда a = b или все x _i равны.

Последнее условие можно выразить несколькими эквивалентными способами; один из них приведен ниже.

Доказательство использует тот факт, что каждая дважды стохастическая матрица является взвешенным средним матриц перестановок ( теорема Биркгофа-фон Неймана ).

Ввиду симметрии суммы общность не теряется при сортировке показателей степеней в порядке убывания:

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}.}$

Тогда существование дважды стохастической матрицы P такой, что a = Pb, эквивалентно следующей системе неравенств:

${\displaystyle {\begin{align}a_{1}&\leq b_{1}\\a_{1}+a_{2}&\leq b_{1}+b_{2}\\a_{1}+a_{2}+a_{3}&\leq b_{1}+b_{2}+b_{3}\\&\,\,\,\vdots \\a_{1}+\cdots +a_{n-1}&\leq b_{1}+\cdots +b_{n-1}\\a_{1}+\cdots +a_{n}&=b_{1}+\cdots +b_{n}.\end{align}}}$

( Последнее — равенство; остальные — слабые неравенства.)

Говорят, что последовательность мажорирует последовательность .${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

Удобно использовать специальную нотацию для сумм. Успех в сокращении неравенства в этой форме означает, что единственным условием для его проверки является проверка того, мажорирует ли одна последовательность экспонент ( ) другую.${\displaystyle \альфа _{1},\ldots,\альфа _{n}}$

${\displaystyle \sum _{\text{sym}}x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$

Эта нотация требует разработки каждой перестановки, разработки выражения, состоящего из n ! мономов , например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\text{sym}}x^{3}y^{2}z^{0}&=x^{3}y^{2}z^{0}+x^{3}z^{2 }y^{0}+y^{3}x^{2}z^{0}+y^{3}z^{2}x^{0}+z^{3}x^{2} y^{0}+z^{3}y^{2}x^{0}\\&=x^{3}y^{2}+x^{3}z^{2}+y^{ 3}x^{2}+y^{3}z^{2}+z^{3}x^{2}+z^{3}y^{2}\end{aligned}}}$

Позволять

${\displaystyle a_{G}=\left({\frac {1}{n}},\ldots ,{\frac {1}{n}}\right)}$

и

${\displaystyle a_{A}=(1,0,0,\ldots ,0).}$

У нас есть

${\displaystyle {\begin{align}a_{A1}=1&>a_{G1}={\frac {1}{n}},\\a_{A1}+a_{A2}=1&>a_{G1}+a_{G2}={\frac {2}{n}},\\&\,\,\,\vdots \\a_{A1}+\cdots +a_{An}&=a_{G1}+\cdots +a_{Gn}=1.\end{align}}}$

Затем

[ а _А ] ≥ [ а _Г ],

который является

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}(x_{1}^{1}\cdot x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}+\cdots +x_{1}^{0}\cdots x_{n}^{1})(n-1)!\geq {\frac {1}{n!}}(x_{1}\cdot \cdots \cdot x_{n})^{1/n}n!}$

что приводит к неравенству.

Мы пытаемся доказать, что x ² + y ² ≥ 2 xy , используя группировку (неравенство Мьюирхеда). Преобразуем его в нотации симметричной суммы:

${\displaystyle \sum _ {\mathrm {sym} }x^{2}y^{0} \geq \sum _ {\mathrm {sym} }x^{1}y^{1}.}$

Последовательность (2, 0) мажорирует последовательность (1, 1), поэтому неравенство выполняется путем группировки.

Аналогично можно доказать неравенство

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq 3xyz}$

записав его с использованием записи симметричной суммы как

${\displaystyle \sum _ {\mathrm {sym} }x^{3}y^{0}z^{0} \geq \sum _ {\mathrm {sym} }x^{1}y^{1} г^{1},}$

что то же самое, что и

${\displaystyle 2x^{3}+2y^{3}+2z^{3}\geq 6xyz.}$

Поскольку последовательность (3, 0, 0) мажорирует последовательность (1, 1, 1), неравенство выполняется путем группировки.

• Неравенство среднего арифметического и среднего геометрического
• Двойная стохастическая матрица
• Неравенство Маклорена
• Мономиальный симметричный многочлен
• Неравенства Ньютона

• Комбинаторная теория Джона Н. Гуиди, основанная на лекциях Джан-Карло Роты, прочитанных в 1998 году, Центр копировальных технологий Массачусетского технологического института, 2002 год.
• Киран Кедлая, A < B (A меньше B), руководство по решению неравенств
• Теорема Мьюирхеда на PlanetMath .
• Харди, GH; Литтлвуд, JE; Полиа, G. (1952), Неравенства, Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-05206-8 , MR 0046395, Zbl  0047.05302, раздел 2.18, теорема 45.