Морфизм конечного типа

В коммутативной алгебре , если задан гомоморфизм A → B коммутативных колец , B называется A -алгеброй конечного типа , если B конечно порождена как A -алгебра . Гораздо сильнее, чтобы B была конечной A -алгеброй, что означает, что B конечно порождена как A -модуль . Например, для любого коммутативного кольца A и натурального числа n кольцо многочленов A [ x ₁ , ..., x _n ] является A -алгеброй конечного типа, но оно не является конечным A -модулем, если только A = 0 или n = 0. Другим примером гомоморфизма конечного типа, который не является конечным, является . $\mathbb {C} [t]\to \mathbb {C} [t][x,y]/(y^{2}-x^{3}-t)$

Аналогичное понятие в терминах схем : морфизм f : X → Y схем имеет конечный тип , если Y имеет покрытие аффинными открытыми подсхемами V i ₌ Spec A _i такими, что f ⁻¹ ( V _{i ) имеет}_{конечное} покрытие аффинными открытыми подсхемами U _ij = Spec B _ij с B _ij A i -алгеброй конечного типа. Говорят также, что X имеет конечный тип над Y .

Например, для любого натурального числа n и поля k аффинное n -пространство и проективное n -пространство над k имеют конечный тип над k (то есть над Spec k ), в то время как они не являются конечными над k, если только n = 0. В более общем случае любая квазипроективная схема над k имеет конечный тип над k .

Лемма Нётер о нормализации гласит, в геометрических терминах, что каждая аффинная схема X конечного типа над полем k имеет конечный сюръективный морфизм в аффинное пространство A ⁿ над k , где n — размерность X . Аналогично, каждая проективная схема X над полем имеет конечный сюръективный морфизм в проективное пространство P ⁿ , где n — размерность X .

Смотрите также

Конечно-порожденная алгебра

Ссылки

Bosch, Siegfried (2013). Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра . Лондон: Springer . С. 360–365. ISBN 9781447148289.

Эта статья, связанная с алгебраической геометрией , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.