Морле вейвлет
Гауссово-оконный вейвлет
Действительный вейвлет Морле
Комплекснозначный вейвлет Морле

В математике вейвлет Морле ( или вейвлет Габора ) [1] — это вейвлет, состоящий из комплексной экспоненты ( несущей ), умноженной на гауссово окно (огибающую). Этот вейвлет тесно связан с человеческим восприятием, как слухом [2] , так и зрением. [3]

История

В 1946 году физик Деннис Габор , применяя идеи квантовой физики , ввел использование гауссовых оконных синусоид для разложения по времени и частоте, которые он назвал атомами , и которые обеспечивают наилучший компромисс между пространственным и частотным разрешением. [1] Они используются в преобразовании Габора , типе кратковременного преобразования Фурье . [2] В 1984 году Жан Морле представил работу Габора сообществу сейсмологов и вместе с Гупийо и Гроссманном модифицировал ее, чтобы сохранить ту же форму вейвлета на равных октавных интервалах, что привело к первой формализации непрерывного вейвлет-преобразования . [4]

Определение

Вейвлет определяется как константа, вычитаемая из плоской волны, а затем локализуемая с помощью гауссовского окна : [5] к σ {\displaystyle \ каппа _ {\ сигма }}

Ψ σ ( т ) = с σ π − 1 4 е − 1 2 т 2 ( е я σ т − к σ ) {\displaystyle \Psi _{\sigma }(t)=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}(e^{i\sigma t}-\kappa _{\sigma })}

где определяется критерием допустимости, а константа нормировки равна: к σ = е − 1 2 σ 2 {\displaystyle \kappa _{\sigma }=e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}} с σ {\displaystyle c_{\sigma}}

с σ = ( 1 + е − σ 2 − 2 е − 3 4 σ 2 ) − 1 2 {\displaystyle c_{\sigma }=\left(1+e^{-\sigma ^{2}}-2e^{-{\frac {3}{4}}\sigma ^{2}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}

Преобразование Фурье вейвлета Морле имеет вид:

Ψ ^ σ ( ω ) = с σ π − 1 4 ( е − 1 2 ( σ − ω ) 2 − к σ е − 1 2 ω 2 ) {\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega )=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\left(e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma -\omega )^{2}}-\kappa _{\sigma }e^{-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}}\right)}

«Центральная частота» — это положение глобального максимума , которое в данном случае определяется положительным решением уравнения: ω Ψ {\displaystyle \omega _{\Psi }} Ψ ^ σ ( ω ) {\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega )}

ω Ψ = σ 1 1 − e − σ ω Ψ {\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma {\frac {1}{1-e^{-\sigma \omega _{\Psi }}}}} [ необходима ссылка ]

которое может быть решено с помощью итерации с фиксированной точкой, начинающейся с (итерации с фиксированной точкой сходятся к единственному положительному решению для любого начального значения ). [ необходима цитата ] ω Ψ = σ {\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma } ω Ψ > 0 {\displaystyle \omega _{\Psi }>0}

Параметр в вейвлете Морле позволяет торговать между временным и частотным разрешением. Традиционно ограничение используется для избежания проблем с вейвлетом Морле при низком (высоком временном разрешении). [ необходима цитата ] σ {\displaystyle \sigma } σ > 5 {\displaystyle \sigma >5} σ {\displaystyle \sigma }

Для сигналов, содержащих только медленно меняющиеся частотные и амплитудные модуляции (например, аудио), нет необходимости использовать малые значения . В этом случае становится очень малым (например , ) и поэтому часто игнорируется. При ограничении частота вейвлета Морле обычно принимается равной . [ необходима цитата ] σ {\displaystyle \sigma } κ σ {\displaystyle \kappa _{\sigma }} σ > 5 ⇒ κ σ < 10 − 5 {\displaystyle \sigma >5\quad \Rightarrow \quad \kappa _{\sigma }<10^{-5}\,} σ > 5 {\displaystyle \sigma >5} ω Ψ ≃ σ {\displaystyle \omega _{\Psi }\simeq \sigma }

Вейвлет существует как комплексная версия или чисто вещественная версия. Некоторые различают «реальный Морле» и «комплексный Морле». [6] Другие считают комплексную версию «вейвлетом Габора», а вещественную версию — «вейвлетом Морле». [7] [8]

Использует

Использование в медицине

В магнитно-резонансной спектроскопии метод вейвлет-преобразования Морле предлагает интуитивный мост между частотной и временной информацией, который может прояснить интерпретацию сложных спектров черепно-мозговых травм, полученных с помощью преобразования Фурье . Однако вейвлет-преобразование Морле не предназначено в качестве замены преобразования Фурье, а скорее является дополнением, которое обеспечивает качественный доступ к изменениям, связанным со временем, и использует преимущества множественных измерений, доступных в анализе свободного распада индукции . [9]

Применение анализа вейвлета Морле также используется для различения аномального поведения сердечного ритма в электрокардиограмме (ЭКГ). Поскольку изменение аномального сердечного ритма является нестационарным сигналом, этот сигнал подходит для анализа на основе вейвлета.

Использование в музыке

Вейвлет-преобразование Морле используется для оценки высоты тона и может давать более точные результаты, чем методы преобразования Фурье. [10] Вейвлет-преобразование Морле способно захватывать короткие серии повторяющихся и чередующихся музыкальных нот с четким временем начала и окончания для каждой ноты. [ необходима ссылка ]

Модифицированный вейвлет Морле был предложен для извлечения мелодии из полифонической музыки. [11] Эта методология разработана для обнаружения закрытой частоты. Вейвлет-преобразование Морле способно захватывать музыкальные ноты, а соотношение шкалы и частоты представлено следующим образом:

f a = f c a × T {\displaystyle f_{a}={f_{c} \over a\times T}}

где — псевдочастота для масштабирования , — центральная частота, — время выборки. f a {\displaystyle f_{a}} a {\displaystyle a} f c {\displaystyle f_{c}} T {\displaystyle T}

Вейвлет Морле модифицируется следующим образом:

Ψ ( t ) = e − | t k | c o s ( 2 π t ) {\displaystyle \Psi (t)=e^{-|{t \over k}|}cos(2\pi t)}

и его преобразование Фурье:

F [ Ψ ( t ) ] = 1 4 π 2 f 2 + 1 [ δ ( f − 2 π ) + δ ( f + 2 π ) ] {\displaystyle F[\Psi (t)]={1 \over {4\pi ^{2}f^{2}+1}}[\delta (f-2\pi )+\delta (f+2\pi )]}

Приложение

  • Сигналы с изменяющимися во времени частотами являются общей характеристикой неисправностей вращающихся машин, что делает вейвлет Морле подходящим подходом для выполнения анализа. Адаптируя вейвлет Морле, система может улучшить свою способность улавливать тонкие изменения и отклонения в сигналах машин, которые могут указывать на неисправности. Адаптируемость вейвлета Морле обеспечивает надежный метод предварительной обработки входных сигналов, тем самым гарантируя, что система может эффективно обрабатывать изменяющиеся частоты, связанные с различными условиями неисправности. [12]
  • Рассматривая вейвлет Морле как нейронную сеть, исследователи стремятся повысить чувствительность и точность мер профилактики ВИЧ. Нейронная сеть, основанная на вейвлете Морле, предназначена для распознавания сложных закономерностей, указывающих на потенциальные риски или уязвимости ВИЧ. Адаптивность нейронной сети на основе вейвлета Морле и ее интеграция с существующими стратегиями знаменуют собой значительный шаг вперед в продолжающихся усилиях по борьбе с эпидемией ВИЧ. [13]
  • Вейвлет Морле, известный своей универсальностью в анализе сигналов и своей приспособляемостью к нелинейным системам, служит ключевым компонентом в системе роговицы, связанной с хирургией глаза. Традиционные численные методы могут испытывать трудности при охвате тонкостей таких систем, что делает необходимыми инновационные подходы. Искусственная нейронная сеть вейвлета Морле становится многообещающим инструментом благодаря своей способности эффективно обрабатывать нелинейности и предоставлять точные численные решения. [14]
  • Исследователи использовали вейвлет-преобразование Морле для извлечения значимых признаков из сигналов сверхширокополосной (UWB) системы позиционирования, используя его эффективность в сохранении временных и спектральных характеристик. Этот преобразующий шаг в предварительной обработке закладывает основу для надежной классификации по прямой видимости (LOS) / вне прямой видимости (NLOS). Вейвлет Морле имеет превосходство над обычными методами в захвате сложных признаков сигнала, что вносит значительный вклад в общий успех системы идентификации LOS / NLOS. [15]
  • Объединяя фильтрацию вейвлетов Морле с фазовым анализом, можно улучшить соотношение сигнал/шум и впоследствии снизить предел обнаружения (LOD) тонкопленочных оптических биосенсоров. Процесс фильтрации вейвлетов Морле включает преобразование выходного сигнала датчика в частотную область. Свертывая сигнал с вейвлетом Морле, который представляет собой сложную синусоидальную волну с гауссовой огибающей, метод позволяет извлекать соответствующие частотные компоненты из сигнала. Этот процесс особенно выгоден для анализа сигналов с нестационарными и изменяющимися во времени характеристиками, что делает его хорошо подходящим для приложений биосенсоров, где целевые концентрации аналита могут меняться со временем. [16]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Основной эскиз Габора в реальном времени для визуального внимания «Ядро Габора удовлетворяет условию допустимости для вейвлетов, поэтому подходит для анализа с несколькими разрешениями. Помимо масштабного коэффициента, оно также известно как вейвлет Морле».
  2. ^ ab Mallat, Stephane (18 сентября 2009 г.). «Словари времени и частоты». Вейвлет-тур по обработке сигналов, The Sparse Way.
  3. ^ JG Daugman . Соотношение неопределенности для разрешения в пространстве, пространственной частоты и ориентации, оптимизированное двумерными визуальными кортикальными фильтрами. Журнал оптического общества Америки A , 2(7):1160–1169, июль 1985 г.
  4. ^ "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2013-06-09 . Получено 2012-05-12 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
  5. ^ Джон Эшмид (2012). «Вейвлеты Морле в квантовой механике». Quanta . 1 (1): 58–70 . arXiv : 1001.0250 . doi :10.12743/quanta.v1i1.5. S2CID  73526961.
  6. ^ "Matlab Wavelet Families". Архивировано из оригинала 2019-08-10.
  7. ^ Документация Mathematica: GaborWavelet
  8. ^ Документация Mathematica: MorletWavelet
  9. ^ http://cds.ismrm.org/ismrm-2001/PDF3/0822.pdf [ пустой URL-адрес PDF ]
  10. ^ Кумар, Нирадж; Кумар, Раубин (29.01.2020). «Оценка многотональной тональности на основе вейвлет-преобразования в полифонической музыке». Heliyon . 6 (1): e03243. Bibcode : 2020Heliy...603243K. doi : 10.1016/j.heliyon.2020.e03243 . ISSN  2405-8440. PMC 7000807. PMID 32042974  . 
  11. ^ Кумар, Нирадж; Кумар, Раубин; Мурму, Говинд; Сети, Прабира Кумар (2021-02-01). «Извлечение мелодии из полифонической музыки с использованием модифицированного вейвлета Морле». Микропроцессоры и микросистемы . 80 : 103612. doi : 10.1016/j.micpro.2020.103612. ISSN  0141-9331.
  12. ^ Шао, Хайдун; Ся, Мин; Вань, Цзяфу; Кларенс, В. де Сильва (февраль 2022 г.). «Модифицированный стекированный автоэнкодер с использованием адаптивного вейвлета Морле для интеллектуальной диагностики неисправностей вращающихся машин». Труды IEEE/ASME по мехатронике . 27 : 24–33 . doi :10.1109/TMECH.2021.3058061.
  13. ^ Зулькурнайн, Сабир; Мухаммад, Умар; Мухаммад, Асиф Захур Раджа; Хачи, Мехмет Басконус; Гао, Вэй (2022). «Проектирование вейвлета Морле как нейронной сети для новой категории профилактики в системе ВИЧ». Международный журнал биоматематики . 15 (4). doi :10.1142/S1793524522500127.
  14. ^ Ван, Б. О.; Дж. Ф. Гомес-Агилар; Зулькурнайн Сабир; Мухаммад Асиф Захур Раджа; Вэй-Фэн Ся; ХАДИ Джаханшахи; Мадини О. Алассафи; Фаваз Э. Альсаади (2022). «Численные вычисления для решения нелинейной роговичной системы хирургии глаза с использованием возможностей искусственных нейронных сетей вейвлета Морле». Фракталы . 30 (5): 2240147– 2240353. Bibcode : 2022Fract..3040147W. doi : 10.1142/S0218348X22401478 .
  15. ^ Z. Cui; Y. Gao; J. Hu; S. Tian; J. Cheng (март 2021 г.). «Идентификация LOS/NLOS для позиционирования UWB в помещении на основе вейвлет-преобразования Морле и сверточных нейронных сетей». IEEE Communications Letters . 25 (3): 879– 882. doi :10.1109/LCOMM.2020.3039251.
  16. ^ Саймон Дж. Уорд; Рабеб Лаюни; София Аршавски-Грэхем; Эстер Сигал; Шарон М. Вайс (2021). «Фильтрация вейвлетов Морле и фазовый анализ для снижения предела обнаружения тонкопленочных оптических биосенсоров». ACS Sensors . 6 (8): 2967– 2978. doi :10.1021/acssensors.1c00787. PMC 8403169. PMID  34387077 . 
  • П. Гупийо, А. Гроссман и Ж. Морле. Цикл-октава и связанные с ней преобразования в анализе сейсмических сигналов . Георазведка, 23:85-102, 1984
  • N. Delprat, B. Escudié, P. Guillemain, R. Kronland-Martinet, P. Tchamitchian и B. Torrésani. Асимптотический вейвлет и анализ Габора: извлечение мгновенных частот. IEEE Trans. Inf. Th., 38:644-664, 1992
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Morlet_wavelet&oldid=1265487898"