Формализм Мори-Цванцига

Формализм Мори –Цванцига , названный в честь физиков Хадзимэ Мори  [de] и Роберта Цванцига , является методом статистической физики . Он позволяет разделить динамику системы на релевантную и нерелевантную части с помощью проекционных операторов, что помогает найти замкнутые уравнения движения для релевантной части. Он используется, например, в механике жидкости или физике конденсированного состояния .

Макроскопические системы с большим числом микроскопических степеней свободы часто хорошо описываются небольшим числом соответствующих переменных, например, намагниченностью в системе спинов. Формализм Мори–Цванцига позволяет находить макроскопические уравнения, которые зависят только от соответствующих переменных, на основе микроскопических уравнений движения системы, которые обычно определяются гамильтонианом . Нерелевантная часть появляется в уравнениях как шум. Формализм не определяет, какие именно соответствующие переменные, их обычно можно получить из свойств системы.

Наблюдаемые, описывающие систему, образуют гильбертово пространство . Затем оператор проекции проецирует динамику на подпространство, охватываемое соответствующими переменными. ^[1] Нерелевантная часть динамики затем зависит от наблюдаемых, которые ортогональны соответствующим переменным. Корреляционная функция используется как скалярное произведение , ^[2] поэтому формализм также может использоваться для анализа динамики корреляционных функций. ^[3]

Не зависящая явно от времени наблюдаемая величина ^{[примечание 1]} подчиняется уравнению движения Гейзенберга${\displaystyle А}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A=iLA,}$

где оператор Лиувилля определяется с помощью коммутатора в квантовом случае и с помощью скобки Пуассона в классическом случае. Мы предполагаем здесь, что гамильтониан не имеет явной зависимости от времени. Вывод также может быть обобщен на зависящие от времени гамильтонианы. ^[4] Это уравнение формально решается с помощью${\displaystyle L}$${\displaystyle L={\frac {1}{\hbar }}[H,\cdot ]}$${\displaystyle L=-i\{H,\cdot \}}$

${\displaystyle A(t)=e^{iLt}A.}$

Оператор проекции, действующий на наблюдаемую, определяется как${\displaystyle X}$

${\displaystyle PX=(A,A)^{-1}(X,A)A,}$

где — соответствующая переменная (которая также может быть вектором различных наблюдаемых), а — некоторое скалярное произведение операторов. Произведение Мори, обобщение обычной корреляционной функции, обычно используется для этого скалярного произведения. Для наблюдаемых оно определяется как ^[5]${\displaystyle А}$${\displaystyle (\;,\;)}$${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle (X,Y)={\frac {1}{\beta }}\int _{0}^{\beta }d\alpha {\text{Tr}}({\bar {\rho }} Xe^{-\alpha H}Ye^{\alpha H}),}$

где — обратная температура, Tr — след (соответствующий интегралу по фазовому пространству в классическом случае), а — гамильтониан. — соответствующий оператор вероятности (или оператор плотности для квантовых систем). Он выбран таким образом, что его можно записать как функцию только соответствующих переменных, но он является хорошим приближением для фактической плотности, в частности, таким, что он дает правильные средние значения. ^[6]${\displaystyle \beta =(k_{B}T)^{-1}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\bar {\rho }}}$

Теперь применим идентификатор оператора

${\displaystyle e^{iLt}=e^{i(1-P)Lt}+\int _{0}^{t}dse^{iL(ts)}PiLe^{i(1-P)Ls}}$

к

${\displaystyle (1-P)iLA.}$

Используя представленный выше оператор проекции и определения

${\displaystyle \Omega =(iLA,A)(A,A)^{-1}}$

(матрица частот),

${\displaystyle F(t)=e^{t(1-P)L}(1-P)iLA}$

(случайная сила) и

${\displaystyle K(t)=(iLF(t),A)(A,A)^{-1}}$

(функция памяти), результат можно записать как

${\displaystyle {\dot {A}}(t)=\Omega A(t)+\int _{0}^{t}dsK(s)A(ts)+F(t).}$

Это уравнение движения для наблюдаемой величины , которое зависит от ее значения в текущий момент времени , значения в предыдущие моменты времени (член памяти) и случайной силы (шум, зависит от части динамики, которая ортогональна ).${\displaystyle A(t)}$${\displaystyle т}$${\displaystyle A(t)}$

Выведенное выше уравнение обычно трудно решить из-за члена свертки. Поскольку мы обычно интересуемся медленными макроскопическими переменными, меняющими масштабы времени, намного большие, чем микроскопический шум, это имеет эффект интегрирования по бесконечному пределу времени, игнорируя задержку в свертке. Мы видим это, расширяя уравнение до второго порядка по , чтобы получить ^[7]${\displaystyle iLA(t)}$

${\displaystyle {\dot {A}}(t)\approx \Omega A(t)+\int _{0}^{\infty }dsK(s)A(s)+F(t)}$,

где

${\ displaystyle K (t) = - (e ^ {iLt} (1-P) iLA, (1-P) iLA) (A, A) ^ {- 1}}$.

Для больших отклонений от термодинамического равновесия используется более общая форма формализма Мори–Цванцига, из которой предыдущие результаты могут быть получены посредством линеаризации. ^[8] В этом случае гамильтониан имеет явную зависимость от времени. ^{[note2 1]} В этом случае уравнение переноса для переменной

${\displaystyle A(t)=a(t)-\delta A(t)}$,

где — среднее значение, а — флуктуация, записывается как (используйте индексную запись с суммированием по повторяющимся индексам) ^[9]${\displaystyle а(т)}$${\displaystyle \delta A(t)}$

${\displaystyle {\dot {A}}_{i}(t)=v_{i}(t)+\Omega _{ij}(t)\delta A_{j}(t)+\int _{0}^{t}dsK_{i}(t,s)+\phi _{ij}(t,s)\delta A_{j}(t)+F_{i}(t,0)}$,

где

${\displaystyle v_{i}(t)={\text{Tr}}({\bar {\rho }}(t)A_{i})}$,

${\displaystyle \Omega _{ij}(t)={\text{Tr}}({\frac {\partial {\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{j}(t)}}{\dot {A}}_{i})}$,

${\displaystyle K_{i}(t,s)={\text{Tr}}({\bar {\rho }}(s)iL(1-P(s))G(s,t){\dot {A}}_{i}),}$

и

${\displaystyle \phi _{ij}(t,s)={\text{Tr}}({\frac {\partial {\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{j}(t)}}iL(1-P(s))G(s,t){\dot {A}}_{i})-{\dot {a}}_{k}(t){\text{Tr}}({\frac {\partial ^{2}{\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{k}(t)\partial a_{j}(t)}}G(s,t){\dot {A}}_{i})}$.

Мы использовали упорядоченную по времени экспоненту

${\displaystyle G(s,t)=T_{-}\exp(\int _{s}^{t}duiL(1-P(u)))}$

и зависящий от времени проекционный оператор

${\displaystyle P(t)X={\text{Tr}}({\bar {\rho }}(t)X)+(A_{i}-a_{i}(t)){\text{Tr}}({\frac {\partial {\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{i}(t)}}X).}$

Эти уравнения также можно переписать, используя обобщение произведения Мори. ^[2] Дальнейшие обобщения можно использовать для применения формализма к зависящим от времени гамильтонианам, ^{[4] [10]} общей теории относительности, ^[11] и произвольным динамическим системам ^[12].

• Уравнение Накаджимы–Цванцига
• Оператор проекции Цванцига

• Герман Граберт Методы проекционных операторов в неравновесной статистической механике , Springer Tracts in Modern Physics, Band 95, 1982
• Роберт Цванциг Неравновесная статистическая механика, 3-е изд. , Oxford University Press, Нью-Йорк, 2001