Теория подобия Монина–Обухова

Теория подобия Монина–Обухова (М–О) описывает безразмерный средний поток и среднюю температуру в поверхностном слое при ненейтральных условиях как функцию безразмерного параметра высоты, [1] названного в честь русских ученых А.С. Монина и А.М. Обухова . Теория подобия — это эмпирический метод, описывающий универсальные соотношения между безразмерными переменными жидкостей, основанный на теореме Букингема π . Теория подобия широко используется в метеорологии пограничного слоя, поскольку соотношения в турбулентных процессах не всегда разрешимы из первых принципов. [2]

Идеализированный вертикальный профиль среднего потока для нейтрального пограничного слоя представляет собой логарифмический профиль ветра, полученный из теории длины смешения Прандтля [ 3] , которая утверждает, что горизонтальная составляющая среднего потока пропорциональна логарифму высоты. Теория подобия М–О далее обобщает теорию длины смешения в ненейтральных условиях, используя так называемые «универсальные функции» безразмерной высоты для характеристики вертикальных распределений среднего потока и температуры. Длина Обухова ( ), характерный масштаб длины турбулентности поверхностного слоя, полученный Обуховым в 1946 году [4] , используется для безразмерного масштабирования фактической высоты. Теория подобия М–О ознаменовала собой важную веху современной микрометеорологии , обеспечив теоретическую основу для микрометеорологических экспериментов и методов измерений. [5] Л {\displaystyle L}

Длина Обухова

Длина Обухова — это параметр длины для поверхностного слоя в пограничном слое , который характеризует относительный вклад в турбулентную кинетическую энергию от плавучего производства и производства сдвига. Длина Обухова была сформулирована с использованием критерия Ричардсона для динамической устойчивости. [4] Она была выведена как, Л {\displaystyle L}

Л = − ты ∗ 3 к г Т В ρ с п {\displaystyle L=-{\dfrac {u_{*}^{3}}{\kappa {\dfrac {g}{T}}{\dfrac {Q}{\rho c_{p}}}}}}

где — постоянная фон Кармана , скорость трения , турбулентный тепловой поток и теплоемкость. [4] Виртуальная потенциальная температура часто используется вместо температуры для коррекции эффектов давления и водяного пара. может быть записана как вертикальный вихревой поток, к ≈ 0,40 {\displaystyle \каппа \приблизительно 0,40} ты ∗ {\displaystyle u_{*}} В {\displaystyle Q} с п {\displaystyle c_{p}} θ в {\displaystyle \theta _{v}} Т {\displaystyle Т} В {\displaystyle Q}

В = ρ с п ж ′ θ в ′ ¯ {\displaystyle Q=\rho c_{p}{\overline {w'\theta _{v}'}}}

с и возмущениями вертикальной скорости и виртуальной потенциальной температуры соответственно. Поэтому длина Обухова может быть также определена как, [6] ж ′ {\displaystyle w'} θ в ′ {\displaystyle \theta _{v}'}

Л = − ты ∗ 3 к г θ в ¯ ж ′ θ в ′ ¯ {\displaystyle L=-{\dfrac {u_{*}^{3}}{\kappa {\dfrac {g}{\overline {\theta _{v}}}}{\overline {w'\theta _{v}'}}}}}

Длина Обухова также выступает в качестве критерия статической устойчивости поверхностного слоя. Когда , поверхностный слой статически неустойчив, а когда поверхностный слой статически устойчив. Абсолютная величина указывает на отклонение от статически нейтрального состояния, причем меньшие значения соответствуют большим отклонениям от нейтральных условий. Когда мало и , плавучие процессы доминируют в производстве турбулентной кинетической энергии по сравнению с производством сдвига. По определению, в нейтральных условиях . Длина Обухова используется для обезразмеривания высоты в теории подобия. Л < 0 {\displaystyle L<0} Л > 0 {\displaystyle L>0} Л {\displaystyle L} | Л | {\displaystyle |Л|} | Л | {\displaystyle |Л|} Л < 0 {\displaystyle L<0} Л → ∞ {\displaystyle L\rightarrow \infty} Л {\displaystyle L} з {\displaystyle z}

Управляющие формулы для отношений подобия

Теория подобия М–О параметризует потоки в поверхностном слое как функцию безразмерного параметра длины . Из теоремы Бакингема Пи размерного анализа можно сформировать две безразмерные группы из базового набора параметров , ζ = з / Л {\displaystyle \zeta =z/L} { ты ∗ , г / θ в ¯ , ∂ ты ¯ / ∂ з , з , ж ′ θ в ′ ¯ } {\displaystyle \{u_ {*},g/{\overline {\theta _{v}}},\partial {\overline {u}}/\partial z, z, {\overline {w'\theta _{v}'}}\}}

к з ты ∗ ∂ ты ¯ ∂ з {\displaystyle {\dfrac {\kappa z}{u_{*}}}{\dfrac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}} , и

ζ = з Л {\displaystyle \zeta = {\dfrac {z}{L}}}

Отсюда можно определить функцию для эмпирического описания взаимосвязи между двумя безразмерными величинами, называемую универсальной функцией. Аналогично можно определить для безразмерной группы среднего температурного профиля. Поэтому средние профили ветра и температуры удовлетворяют следующим соотношениям: [1] [5] φ М ( ζ ) {\displaystyle \varphi _{M}(\zeta)} φ ЧАС ( ζ ) {\displaystyle \varphi _{H}(\zeta)}

∂ ты ¯ ∂ з = ты ∗ к з φ М ( ζ ) {\displaystyle {\dfrac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}={\dfrac {u_ {*}}{\kappa z}}\varphi _{M}(\zeta)}
∂ θ в ¯ ∂ з = θ ∗ к з φ ЧАС ( ζ ) {\displaystyle {\dfrac {\partial {\overline {\theta _{v}}}}{\partial z}}={\dfrac {\theta _{*}}{\kappa z}}\varphi _{H}(\zeta)}

где - характерная динамическая температура, а - универсальные функции импульса и тепла. Коэффициенты турбулентной диффузии для потоков импульса и тепла определяются следующим образом: θ ∗ = − ж ′ θ в ′ ¯ ты ∗ {\displaystyle \theta _{*}=-{\dfrac {\overline {w'\theta _{v}'}}{u_{*}}}} φ М {\displaystyle \varphi _{M}} φ ЧАС {\displaystyle \varphi _{H}}

К М = к з ты ∗ φ М ( ζ ) ,   К ЧАС = к з ты ∗ φ ЧАС ( ζ ) {\displaystyle K_{M}=\kappa z{\dfrac {u_{*}}{\varphi _{M}(\zeta)}},\ K_{H}=\kappa z{\dfrac {u_{*}}{\varphi _{H}(\zeta)}}}

К М {\displaystyle К_{М}} и может быть связано с турбулентным числом Прандтля , К ЧАС {\displaystyle K_{H}} П г т {\displaystyle Pr_{t}}

К ЧАС К М = 1 П г т > 1 {\displaystyle {\dfrac {K_{H}}{K_{M}}}={\dfrac {1}{Pr_{t}}}>1}

В действительности универсальные функции необходимо определять с использованием экспериментальных данных при применении теории подобия М–О. Хотя выбор универсальных функций не является уникальным, были предложены и широко приняты определенные функциональные формы для подгонки экспериментальных данных.

Универсальные функции теории подобия Монина–Обухова

Универсальные функции для теории подобия Монина–Обухова

Было предложено несколько функциональных форм для представления универсальных функций теории подобия. Поскольку длина Обухова определяется, когда , где - число Ричардсона , следующее условие должно удовлетворяться выбранной универсальной функцией, [1] Л ( ∂ Р я ∂ з ) з = 0 = 1 {\displaystyle L{\Big (}{\dfrac {\partial Ri}{\partial z}}{\Big)}_{z=0}=1} Р я {\displaystyle Ри}

φ ( 0 ) = 1 {\displaystyle \varphi (0)=1}

Приближение первого порядка универсальной функции для потока импульса имеет вид:

φ М ( ζ ) = 1 + β ζ {\displaystyle \varphi _{M}(\zeta)=1+\beta \zeta }

где . [5] Однако это применимо только тогда, когда . Для условий, когда , соотношение имеет вид: β ≈ 6 {\displaystyle \бета \приблизительно 6} 0 < ζ < 1 {\displaystyle 0<\дзета <1} ζ < 0 {\displaystyle \дзета <0}

φ М 4 − γ ζ φ М 3 = 1 {\displaystyle \varphi _{M}^{4}-\gamma \zeta \varphi _{M}^{3}=1}

где — коэффициент, который необходимо определить из экспериментальных данных. Это уравнение может быть далее аппроксимировано с помощью , когда . γ {\displaystyle \гамма} φ М = ( 1 + γ ζ ) − 1 / 4 {\displaystyle \varphi _{M}=(1+\gamma \zeta)^{-1/4}} − 2 < ζ < 0 {\displaystyle -2<\zeta <0}

На основе результатов эксперимента в Канзасе 1968 года определены следующие универсальные функции для горизонтального среднего потока и средней виртуальной потенциальной температуры [7]

φ M ( ζ ) = ( 1 − 15 ζ ) − 1 / 4 − 2 < ζ < 0 {\displaystyle \varphi _{M}(\zeta )=(1-15\zeta )^{-1/4}\quad -2<\zeta <0}
φ M ( ζ ) = 1 + 4.7 ζ 0 < ζ < 1 {\displaystyle \varphi _{M}(\zeta )=1+4.7\zeta \quad 0<\zeta <1}
φ H ( ζ ) = 0.74 ( 1 − 9 ζ ) − 1 / 2 − 2 < ζ < 0 {\displaystyle \varphi _{H}(\zeta )=0.74(1-9\zeta )^{-1/2}\quad -2<\zeta <0}
φ H ( ζ ) = 0.74 + 4.7 ζ 0 < ζ < 1 {\displaystyle \varphi _{H}(\zeta )=0.74+4.7\zeta \quad 0<\zeta <1}

Применяются также другие методы, определяющие универсальные функции с использованием соотношения между и . [8] [9] ζ {\displaystyle \zeta } R i {\displaystyle Ri}

Для подслоев со значительной шероховатостью, например, для поверхностей с растительностью или городских территорий, универсальные функции должны быть изменены, чтобы включить эффекты шероховатости поверхности. [6]

Проверки

Множество экспериментальных усилий было посвящено проверке теории подобия М–О. Полевые наблюдения и компьютерное моделирование в целом продемонстрировали, что теория подобия М–О вполне удовлетворяет требованиям.

В полевых измерениях

Пшеничное поле в Канзасе, для эксперимента нужна ровная местность.

Эксперимент в Канзасе 1968 года выявил большую согласованность между измерениями и прогнозами из соотношений подобия для всего диапазона значений устойчивости. [7] Плоское пшеничное поле в Канзасе служило местом эксперимента, где ветры измерялись анемометрами, установленными на разной высоте на 32-метровой вышке. Температурный профиль также измерялся аналогичным образом. Результаты полевого исследования в Канзасе показали, что отношение вихревых диффузий тепла и импульса составляло приблизительно 1,35 при нейтральных условиях. Похожий эксперимент был проведен на плоском поле в северо-западной Миннесоте в 1973 году. В этом эксперименте использовались как наземные, так и аэростатные наблюдения за поверхностным слоем, и он дополнительно подтвердил теоретические предсказания из подобия. [10]

В моделировании крупных вихрей

В дополнение к полевым экспериментам, анализ теории подобия M–O может быть проведен с использованием моделирования больших вихрей с высоким разрешением . Моделирование показывает, что поле температуры хорошо согласуется с подобием M–O. Однако поле скорости показывает значительные аномалии от подобия M–O. [11]

Ограничения

Теория подобия M–O, хотя и успешна для поверхностных слоев по экспериментальным проверкам, по сути является диагностической эмпирической теорией, основанной на локальном замыкании турбулентности первого порядка. Обычно 10%~20% ошибок связаны с универсальными функциями. При применении к растительным областям или сложным рельефам она может привести к большим расхождениям. Поскольку универсальные функции часто определяются в сухих условиях, применимость теории подобия M–O во влажных условиях не была хорошо изучена.

Базовый набор параметров теории подобия М–О включает производство плавучести . Утверждается, что при таком наборе параметров масштабирование применяется к интегральным характеристикам потока, тогда как отношение подобия, специфичное для вихрей, предпочитает использование скорости диссипации энергии . [12] Эта схема способна объяснить аномалии теории подобия М–О, но подразумевает нелокальность для моделирования и экспериментов. g Q T {\displaystyle {\dfrac {gQ}{T}}} ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc Монин, АС; Обухов, AM (1954). "Основные закономерности турбулентного перемешивания в приземном слое атмосферы". Труды Геофизического института АН СССР , 24 (151): 163–187 .
  2. ^ Stull, Roland (1988). Введение в метеорологию пограничного слоя . Нидерланды: Springer. ISBN 978-94-009-3027-8.
  3. ^ Прандтль, Людвиг (1925). «Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 5 (2): 136–139 . Бибкод : 1925ЗаММ....5..136П. дои : 10.1002/zamm.19250050212.
  4. ^ abc Обухов, AM (1971). "Турбулентность в атмосфере с неоднородной температурой". Boundary-Layer Meteorology . 2 (1): 7– 29. Bibcode :1971BoLMe...2....7O. doi :10.1007/BF00718085. S2CID  121123105.
  5. ^ abc Foken, T. (2006). "50 лет теории подобия Монина-Обухова". Boundary-Layer Meteorology . 2 (3): 7– 29. Bibcode :2006BoLMe.119..431F. doi :10.1007/s10546-006-9048-6. S2CID  122060208.
  6. ^ Аб Фокен, Томас (2008). Микрометеорология . Спрингер-Верлаг. стр. 42–49. ISBN 978-3-540-74665-2.
  7. ^ ab Businger, JA ; JC Wyngaard; Y. Izumi; EF Bradley (1971). "Соотношения потока и профиля в приземном слое атмосферы". Journal of the Atmospheric Sciences . 28 (2): 181– 189. Bibcode :1971JAtS...28..181B. doi : 10.1175/1520-0469(1971)028<0181:FPRITA>2.0.CO;2 .
  8. ^ Арья, С. П. (2001). Введение в микрометеорологию . Сан-Диего: Academic Press.
  9. ^ Хёгстрём, У. (1988). «Безразмерные профили ветра и температуры в приземном слое атмосферы: переоценка». Boundary-Layer Meteorology . 42 ( 1– 2): 55– 78. Bibcode : 1988BoLMe..42...55H. doi : 10.1007/BF00119875. S2CID  117742460.
  10. ^ Kaimal, JC; JC Wyngaard; DA Haugen; OR Coté; Y. Izumi; SJ Caughey; CJ Readings (1976). «Структура турбулентности в конвективном пограничном слое». Журнал атмосферных наук . 33 (11): 2152– 2169. Bibcode : 1976JAtS...33.2152K. doi : 10.1175/1520-0469(1976)033<2152:TSITCB>2.0.CO;2 .
  11. ^ Ханна, Самир; Брассер, Джеймс Г. (1997). «Анализ сходства Монина–Обухова с помощью моделирования крупных вихрей». J. Fluid Mech . 345 (1): 251– 286. Bibcode : 1997JFM...345..251K. doi : 10.1017/S0022112097006277. S2CID  122546650.
  12. ^ Макнотон, Кит (2009). «Взлет и падение теории Монина-Обухова» (PDF) . AsiaFlux Newsletter (30): 1– 4.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Monin–Obukhov_similarity_theory&oldid=1117642033"