Модифицированное логнормальное степенное распределение

Эта статья может потребовать очистки для соответствия стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: Форматирование математических формул, в частности, ненадлежащее смешивание викикода и LaTeX. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , если можете. ( Март 2018 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Функция модифицированного логнормального степенного закона ( MLP ) — это функция с тремя параметрами, которая может использоваться для моделирования данных, имеющих характеристики логнормального распределения и поведения степенного закона . Она использовалась для моделирования функциональной формы начальной функции масс (IMF). В отличие от других функциональных форм IMF, MLP — это одна функция без условий соединения.

Замкнутая форма функции плотности вероятности MLP выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(m)={\frac {\alpha}{2}}\exp \left(\alpha\mu_{0}+{\frac {\alpha^{2}\sigma_{0}^{2}}{2}}\right)m^{-(1+\alpha)}{\text{erfc}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\alpha\sigma_{0}-{\frac {\ln(m)-\mu_{0}}{\sigma_{0}}}\right)\right),\ m\in [0,\infty)\end{aligned}}}$

где — асимптотический степенной индекс распределения. Здесь и — среднее значение и дисперсия, соответственно, базового логнормального распределения, из которого выведен MLP.${\displaystyle {\begin{align}\alpha ={\frac {\delta }{\gamma }}\end{align}}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$

Ниже приведены некоторые математические свойства распределения MLP:

Кумулятивная функция распределения MLP ( ) определяется по формуле:${\displaystyle F(m)=\int _{-\infty}^{m}f(t)\,dt}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(м)={\frac {1}{2}}{\text{erfc}}\left(-{\frac {\ln(м)-\mu _{0}}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right)-{\frac {1}{2}}\exp \left(\alpha \mu _{0}+{\frac {\alpha ^{2}\sigma _{0}^{2}}{2}}\right)m^{-\alpha }{\text{erfc}}\left({\frac {\alpha \sigma _{0}}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln(м)-\mu _{0}}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right)\right)\end{выровнено}}}$

Мы можем видеть, что это кумулятивная функция распределения для логнормального распределения с параметрами μ ₀ и σ ₀ .${\displaystyle m\to 0,}$${\displaystyle \textstyle F(m)\to {\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln(m-\mu _{0})}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right),}$

Ожидаемое значение k дает ^{th- й} сырой момент ,${\displaystyle М}$${\displaystyle к}$ ${\displaystyle М}$

${\displaystyle {\begin{align}\langle M^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }m^{k}f(m)\mathrm {d} m\end{align}}}$

Это существует тогда и только тогда, когда α > , в этом случае это становится:${\displaystyle к}$

${\displaystyle {\begin{align}\langle M^{k}\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -k}}\exp \left({\frac {\sigma _{0}^{2}k^{2}}{2}}+\mu _{0}k\right),\ \alpha >k\end{align}}}$

что является ^сырым моментом логнормального распределения с параметрами μ ₀ и σ _{0 ,} масштабированными по α ⁄ α- в пределе α→∞. Это дает среднее значение и дисперсию распределения MLP:${\displaystyle к}$${\displaystyle к}$

${\displaystyle {\begin{align}\langle M\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -1}}\exp \left({\frac {\sigma _{0}^{2}}{2}}+\mu _{0}\right),\ \alpha >1\end{align}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M^{2}\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -2}}\exp \left(2\left(\sigma _{0}^{2}+\mu _{0}\right)\right),\ \alpha >2\end{aligned}}}$

Var( ) = ⟨ ² ⟩-(⟨ ⟩) ² = α exp(σ ₀ ² + 2μ ₀ ) ( ⁠${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$ехр(σ ₀ ² )/α-2⁠ - ⁠α/(α-2) ²⁠ ), α > 2

Решение уравнения = 0 (приравнивающее наклон к нулю в точке максимума) для дает моду распределения MLP.${\displaystyle f'(m)}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle f'(m)=0\Leftrightarrow K\operatorname {erfc} (u)=\exp(-u^{2}),}$

где и${\displaystyle \textstyle u={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln m-\mu _{0}}{\sigma _{0}}}\right)}$${\displaystyle K=\sigma _{0}(\alpha +1){\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}.}$

Для решения этого трансцендентного уравнения требуются численные методы. Однако, отметив, что если ≈1, то u = 0, мы получаем моду ^* :${\displaystyle K}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle m^{*}=\exp(\mu _{0}+\alpha \sigma _{0}^{2})}$

Логнормальная случайная величина:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\mu ,\sigma )=\exp(\mu +\sigma N(0,1))\end{aligned}}}$

где — стандартная нормальная случайная величина. Экспоненциальная случайная величина:${\displaystyle N(0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(\delta )=-\delta ^{-1}\ln(R(0,1))\end{aligned}}}$

где R(0,1) — равномерная случайная величина в интервале [0,1]. Используя эти два, мы можем вывести случайную величину для распределения MLP:

${\displaystyle {\begin{aligned}M(\mu _{0},\sigma _{0},\alpha )=\exp(\mu _{0}+\sigma _{0}N(0,1)-\alpha ^{-1}\ln(R(0,1)))\end{aligned}}}$

1. Basu, Shantanu; Gil, M; Auddy, Sayatan (1 апреля 2015 г.). «Распределение MLP: модифицированная логнормальная степенная модель для начальной функции массы звезд». MNRAS . 449 (3): 2413– 2420. arXiv : 1503.00023 . Bibcode :2015MNRAS.449.2413B. doi : 10.1093/mnras/stv445 .