Теорема Минковского–Главки

В математике теорема Минковского –Главки является результатом о решетчатой ​​упаковке гиперсфер в размерности n > 1. Она утверждает, что существует решетка в евклидовом пространстве размерности n , такая, что соответствующая наилучшая упаковка гиперсфер с центрами в узлах решетки имеет плотность Δ, удовлетворяющую условию

${\displaystyle \Delta \geq {\frac {\zeta (n)}{2^{n-1}}},}$

где ζ — дзета-функция Римана . Здесь при n → ∞, ζ( n ) → 1. Доказательство этой теоремы является косвенным и не дает явного примера, однако, и до сих пор не известно простого и явного способа построения решеток с плотностью упаковки, превышающей эту границу для произвольного n . В принципе, можно найти явные примеры: например, даже просто выбрав несколько «случайных» решеток, можно добиться высокой вероятности. Проблема в том, что проверка этих решеток на предмет того, являются ли они решениями, требует нахождения их кратчайших векторов, а количество случаев для проверки очень быстро растет с размерностью, поэтому это может занять очень много времени.

Этот результат был сформулирован без доказательства Германом Минковским  (1911, страницы 265–276) и доказан Эдмундом Главкой  (1943). Результат связан с линейной нижней границей для постоянной Эрмита .

Siegel (1945) доказал следующее обобщение теоремы Минковского–Главки. Если S — ограниченное множество в Rn с жордановым объемом vol( S ), то среднее число ненулевых векторов решетки в S равно vol( S )/ D , где среднее число ^{берется} по всем решеткам с фундаментальной областью объема D , и аналогично среднее число примитивных векторов решетки в S равно vol( S )/ Dζ ( n ).

Из этого легко следует теорема Минковского–Главки, используя тот факт, что если S — звездообразное центрально-симметричное тело (такое как шар), содержащее менее 2 примитивных векторов решетки, то оно не содержит ненулевых векторов решетки.

• гипотеза Кеплера

• Conway, John H .; Neil JA Sloane (1999). Упаковки сфер, решетки и группы (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9.
• Главка, Эдмунд (1943), "Zur Geometrie der Zahlen", Math. З. , 49 : 285–312 , doi :10.1007/BF01174201, MR  0009782
• Минковский (1911), Gesammelte Abhandlungen , vol. 1, Лейпциг: Тойбнер
• Siegel, Carl Ludwig (1945), «Теорема о среднем значении в геометрии чисел» (PDF) , Ann. of Math. , 2, 46 (2): 340– 347, doi :10.2307/1969027, JSTOR  1969027, MR  0012093, S2CID  124272126, архивировано из оригинала (PDF) 2020-02-26