Минимальное простое число (занимательная математика)

В теории развлекательных чисел минимальное простое число — это простое число , для которого не существует более короткой подпоследовательности его цифр в данной базе, которая образует простое число. В базе 10 существует ровно 26 минимальных простых чисел:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 19 , 41 , 61 , 89 , 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 (последовательность A071062 в OEIS ).

Например, 409 является минимальным простым числом, поскольку среди более коротких подпоследовательностей цифр нет простого числа: 4, 0, 9, 40, 49, 09. Подпоследовательность не обязательно должна состоять из последовательных цифр, поэтому 109 не является минимальным простым числом (потому что 19 является простым числом). Но оно должно быть в том же порядке; так, например, 991 по-прежнему является минимальным простым числом, хотя подмножество цифр может образовать более короткое простое число 19, изменив порядок.

Аналогично, существует ровно 32 составных числа , которые не имеют более короткой составной подпоследовательности:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70, 72, 75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731 (последовательность A071070 в OEIS ).

Существует 146 простых чисел, сравнимых с 1 по модулю 4, у которых нет более короткой простой подпоследовательности, сравнимой с 1 по модулю 4:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 149, 181, 233, 277, 281, 349, 409, 433, 449, 677, 701, 709, 769, 821, 877, 881, 1669, 2221, 3001, 3121, 3169, 3221, 3301, 3833, 4969, 4993, 6469, 6833, 6949, 7121, 7477, 7949, 9001, 9221, 9649, 9833, 9901, 9949, ... (последовательность A111055 в OEIS )

Существует 113 простых чисел, сравнимых с 3 по модулю 4, у которых нет более короткой простой подпоследовательности, сравнимой с 3 по модулю 4:

3, 7, 11, 19, 59, 251, 491, 499, 691, 991, 2099, 2699, 2999, 4051, 4451, 4651, 5051, 5651, 5851, 6299, 6451, 6551, 6899, 8291, 8699, 8951, 8999, 9551, 9851, ... (последовательность A111056 в OEIS )

Другие базы

Минимальные простые числа можно обобщить на другие основания. Можно показать, что в каждом основании существует лишь конечное число минимальных простых чисел. Эквивалентно, каждое достаточно большое простое число содержит более короткую подпоследовательность, которая образует простое число.

бминимальные простые числа в системе счисления с основанием b (записанные в системе счисления с основанием b , буквы A, B, C, ... представляют значения 10, 11, 12, ...)
количество
минимальных простых чисел
в системе счисления с основанием b
1111
210, 112
32, 10, 1113
42, 3, 113
52, 3, 10, 111, 401, 414, 14444, 444418
62, 3, 5, 11, 4401, 4441, 400417
72, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 111119
82, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4611, 6101, 6441, 60411, 444641, 44444444115
92, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1011, 1101.12
102, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 6660004926
112, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9А, 199, 1АА, 414, 919, А1А, АА1, 11А9, 66А9, А119, А911, ААА9, 11144, 11191, 1141А, 114А1, 1411А, 144А4, 14А11, 1А114, 1А411, 4041А, 40441, 404А1, 4111А, 411А1, 44401, 444А1, 44А01, 6А609, 6А669, 6А696, 6А906, 6А966, 90901, 99111, А0111, А0669, А0966, А0999, А0А09, А4401, А6096, А6966, А6999, А9091, А9699, А9969, 401А11, 404001, 404111, 440А41, 4А0401, 4А4041, 60А069, 6А0096, 6А0А96, 6А9099, 6А9909, 909991, 999901, А00009, А60609, А66069, А66906, А69006, A90099, A90996, A96006, A96666, 111114A, 1111A14, 1111A41, 1144441, 14A4444, 1A44444, 4000111, 4011111, 41A1111, 4411111, 444441A, 4A11111, 4A40001, 6000A69, 6000A96, 6A00069, 9900991, 9990091, A000696, A000991, A006906, A040041, A141111, A600A69, A906606, А909009, А990009, 40А00041, 60А99999, 99000001, А0004041, А9909006, А9990006, А9990606, А9999966, 40000А401, 44А444441, 900000091, A00990001, A44444111, A66666669, A90000606, A99999006, A99999099, 600000A999, A000144444, A900000066, A0000000001, А0014444444, 40000000A0041, A000000014444, A044444444441, A144444444411, 40000000000401, A0000044444441, A00000000444441, 11111111111111111, 14444444444441111, 44444444444444111, A1444444444444444, A9999999999999996, 1444444444444444444, 40000000000000000A041, А9999999999999999999999, А44444444444444444444444441, 40000000000000000000000000041, 440000000000000000000000000001, 9999999999999999999999999999999991, 444444444444444444444444444444444444444444444441152
122, 3, 5, 7, Б, 11, 61, 81, 91, 401, А41, 4441, А0А1, АААА1, 44ААА1, ААА0001, АА00000117

Минимальные простые числа в десятичной системе счисления, записанные в 12-ричной системе счисления, перечислены в OEIS : A110600 .

Количество минимальных (вероятных) простых чисел в системе счисления с основанием n равно

1, 2, 3, 3, 8, 7, 9, 15, 12, 26, 152, 17, 228, 240, 100, 483, 1280, [1] 50, 3463, [2] 651, 2601, [3] 1242, 6021, 306, (17608 или 17609), [4] 5664, [5] 17215, [6] 5784, [7] (57296 или 57297), [8] 220, ...

Длина наибольшего минимального (вероятного) простого числа в системе счисления с основанием n равна

2, 2, 3, 2, 5, 5, 5, 9, 4, 8, 45, 8, 32021, 86, 107, 3545, (≥111334), 33, (≥110986), 449, (≥479150) , 764, 800874, 100, (≥136967), (≥8773), (≥109006), (≥94538), (≥174240), 1024, ...

Наибольшее минимальное (вероятное) простое число в системе счисления с основанием n (записанное в системе счисления с основанием 10) равно

2, 3, 13, 5, 3121, 5209, 2801, 76695841, 811, 66600049, 29156193474041220857161146715104735751776055777, 388177921, ... (следующий член имеет 35670 цифр) (последовательность A326609 в OEIS )

Число минимальных композитов в базе n равно

1, 3, 4, 9, 10, 19, 18, 26, 28, 32, 32, 46, 43, 52, 54, 60, 60, 95, 77, 87, 90, 94, 97, 137, 117, 111, 115, 131, 123, 207,...

Длина наибольшего минимального композита в основании n равна

4, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 3, 4,...

Примечания

  1. ^ Это значение только предположено. Для основания 17 известно 1279 минимальных (вероятных) простых чисел и одно нерешенное семейство: F1{9}
  2. ^ Это значение только предположено. Для основания 19 известно 3462 минимальных (вероятных) простых числа и одно нерешенное семейство: EE1{6}
  3. ^ Это значение только предположено. Для основания 21 известно 2600 минимальных (вероятных) простых чисел и одно нерешенное семейство: G{0}FK
  4. ^ Это значение только предположено. Для основания 25 существует 17597 известных минимальных (вероятных) простых чисел и двенадцать нерешенных семейств, но наименьшее простое число одного из этих семейств (LO{L}8) может быть или не быть минимальным простым числом, поскольку другое нерешенное семейство — O{L}8
  5. ^ Это значение только предположено. Для основания 26 известно 5662 минимальных (вероятных) простых чисел и два нерешенных семейства: {A}6F и {I}GL
  6. ^ Это значение только предположено. Для основания 27 известно 17210 минимальных (вероятных) простых чисел и пять нерешенных семейств
  7. ^ Это значение только предположено. Для основания 28 известно 5783 минимальных (вероятных) простых чисел и одно нерешенное семейство: O{A}F
  8. ^ Это значение только предположено. Для основания 29 существует 57283 известных минимальных (вероятных) простых чисел и четырнадцать нерешенных семейств, но наименьшее простое число одного из этих семейств ({F}OPF) может быть или не быть минимальным простым числом, поскольку другое нерешенное семейство — {F}OP

Ссылки

  • Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: ​​минимальный Prime, из Prime Pages
  • Исследование минимальных простых чисел в системах счисления от 2 до 30
  • Минимальные простые числа и нерешенные семейства в системах счисления от 2 до 30
  • Минимальные простые числа и нерешенные семейства в системах счисления с основаниями от 28 до 50
  • Дж. Шаллит, Минимальные простые числа, Журнал занимательной математики , 30 :2, стр. 113–117, 1999-2000.
  • Записи PRP, поиск по форме 8*13^n+183 (простые числа формы 8{0}111 в основании 13), n=32020
  • Записи PRP, поиск по форме (51*21^n-1243)/4 (простые числа формы C{F}0K в основании 21), n=479149
  • Записи PRP, поиск по форме (106*23^n-7)/11 (простые числа формы 9{E} в основании 23), n=800873


Значок заглушки

Эта статья по теории чисел — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Minimal_prime_(recreational_mathematics)&oldid=1135206398"