Метод Милна-Томсона для нахождения голоморфной функции

В математике метод Милна-Томсона — это метод нахождения голоморфной функции , действительная или мнимая часть которой задана. ^[1] Он назван в честь Луи Мелвилла Милна-Томсона .

Пусть и где и реальны .​${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle {\bar {z}}\ =x-iy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

Пусть — любая голоморфная функция .${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$

Пример 1:${\displaystyle z^{4}=(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4})+i(4x^{3}y-4xy^{3})}$

Пример 2:${\displaystyle \exp(iz)=\cos(x)\exp(-y)+i\sin(x)\exp(-y)}$

В своей статье ^[1] Милн-Томсон рассматривает проблему нахождения , когда 1. и даны, 2. дана и является действительной на действительной оси, 3. дана только, 4. дана только. Его действительно интересуют задачи 3 и 4, но ответы на более простые задачи 1 и 2 необходимы для доказательства ответов на задачи 3 и 4.${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle v(x,y)}$${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle v(x,y)}$

Проблема : и известны; что такое ?${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle v(x,y)}$${\displaystyle f(z)}$

Отвечать :${\ displaystyle f (z) = u (z, 0) + iv (z, 0)}$

Говоря словами: голоморфную функцию можно получить, подставив и .${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle x=z}$${\displaystyle у=0}$${\displaystyle u(x,y)+iv(x,y)}$

Пример 1: при и получаем .${\displaystyle u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}}$${\displaystyle v(x,y)=4x^{3}y-4xy^{3}}$${\displaystyle f(z)=z^{4}}$

Пример 2: при и получаем .${\ displaystyle u (x, y) = \ соз (x) \ exp (-y)}$${\displaystyle v(x,y)=\sin(x)\exp(-y)}$${\displaystyle f(z)=\cos(z)+i\sin(z)=\exp(iz)}$

Доказательство :

Из первой пары определений и .${\displaystyle x={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}}$${\displaystyle y={\frac {z- {\bar {z}}}{2i}}}$

Поэтому .${\displaystyle f(z)=u\left({\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\ , {\frac {z- {\bar {z}}}{2i}}\ right)+iv\left({\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\ ,{\frac {z- {\bar {z}}}{2i}}\right)}$

Это тождество даже тогда, когда и не являются действительными, т.е. две переменные и можно считать независимыми. Подставляя, получаем .${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\bar {z}}\ }$${\displaystyle {\bar {z}}=z}$${\ displaystyle f (z) = u (z, 0) + iv (z, 0)}$

Проблема : известно, неизвестно, реально; что такое ?${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle v(x,y)}$${\displaystyle f(x+i0)}$${\displaystyle f(z)}$

Отвечать : .${\displaystyle f(z)=u(z,0)}$

Здесь применим только пример 1: при этом получаем .${\displaystyle u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}}$${\displaystyle f(z)=z^{4}}$

Доказательство : « является реальным» означает . В этом случае ответ на задачу 1 становится .${\displaystyle f(x+i0)}$${\displaystyle v(x,0)=0}$${\displaystyle f(z)=u(z,0)}$

Проблема : известно, неизвестно; что такое ?${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle v(x,y)}$${\displaystyle f(z)}$

Ответ : (где — частная производная по ).${\ displaystyle f (z) = u (z, 0) -i \ int u_ {y} (z, 0) dz}$${\displaystyle u_{y}(x,y)}$${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle у}$

Пример 1: при и получаем с действительным, но неопределенным .${\displaystyle u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}}$${\displaystyle u_{y}(x,y)=-12x^{2}y+4y^{3}}$${\displaystyle f(z)=z^{4}+iC}$${\displaystyle С}$

Пример 2: при и получаем .${\ displaystyle u (x, y) = \ соз (x) \ exp (-y)}$${\displaystyle u_{y}(x,y)=-\cos(x)\exp(-y)}$${\displaystyle f(z)=\cos(z)+i\int \cos(z)dz=\cos(z)+i(\sin(z)+C)=\exp(iz)+iC}$

Доказательство : Это следует из и 2-го уравнения Коши-Римана .${\displaystyle f(z)=u(z,0)+i\int v_ {x}(z,0)dz}$ ${\ displaystyle u_ {y} (x, y) = - v_ {x} (x, y)}$

Проблема : неизвестно, известно; что такое ?${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle v(x,y)}$${\displaystyle f(z)}$

Отвечать : .${\displaystyle f(z)=\int v_{y}(z,0)dz+iv(z,0)}$

Пример 1: при и получаем с действительным, но неопределенным .${\displaystyle v(x,y)=4x^{3}y-4xy^{3}}$${\displaystyle v_{y}(x,y)=4x^{3}-12xy^{2}}$${\displaystyle f(z)=\int 4z^{3}dz+i0=z^{4}+C}$${\displaystyle С}$

Пример 2: при и получаем .${\displaystyle v(x,y)=\sin(x)\exp(-y)}$${\displaystyle v_{y}(x,y)=-\sin(x)\exp(-y)}$${\displaystyle f(z)=-\int \sin(z)dz+i\sin(z)=\cos(z)+C+i\sin(z)=\exp(iz)+C}$

Доказательство : Это следует из и 1-го уравнения Коши-Римана .${\displaystyle f(z)=\int u_ {x}(z,0)dz+iv(z,0)}$ ${\ displaystyle u_ {x} (x, y) = v_ {y} (x, y)}$