губка Менгера
Трехмерный фрактал
Иллюстрация M 4 , губки после четырех итераций процесса строительства.

В математике губка Менгера (также известная как куб Менгера , универсальная кривая Менгера , куб Серпинского или губка Серпинского ) [1] [2] [3] — это фрактальная кривая . Она является трехмерным обобщением одномерного множества Кантора и двумерного ковра Серпинского . Впервые была описана Карлом Менгером в 1926 году в его исследованиях концепции топологической размерности . [4] [5]

Строительство

Иллюстрация итеративного построения губки Менгера до M 3 , третья итерация

Строение губки Менгера можно описать следующим образом:

  1. Начнем с куба.
  2. Разделите каждую грань куба на девять квадратов, подобно кубику Рубика . Это разделит куб на 27 меньших кубиков.
  3. Удалите меньший куб в середине каждой грани и удалите меньший куб в центре большего куба, оставив 20 меньших кубов. Это губка Менгера уровня 1 (напоминающая пустой куб).
  4. Повторите шаги два и три для каждого из оставшихся меньших кубиков и продолжайте итерацию до бесконечности .

Вторая итерация дает губку уровня 2, третья итерация дает губку уровня 3 и т. д. Сама губка Менгера является пределом этого процесса после бесконечного числа итераций.

Характеристики

Шестиугольное поперечное сечение губки Менгера уровня 4. (Часть серии разрезов, перпендикулярных диагонали пространства.)

Ярус губки Менгера, , состоит из меньших кубов, каждый с длиной стороны (1/3) n . Таким образом, общий объем равен . Общая площадь поверхности определяется выражением . [6] [7] Таким образом, объем конструкции стремится к нулю, в то время как площадь ее поверхности неограниченно увеличивается. Тем не менее, любая выбранная поверхность в конструкции будет полностью проколота по мере продолжения конструкции, так что предел не является ни твердым телом, ни поверхностью; он имеет топологическую размерность 1 и, соответственно, идентифицируется как кривая. н {\displaystyle n} М н {\displaystyle M_{n}} 20 н {\displaystyle 20^{н}} М н {\displaystyle M_{n}} ( 20 27 ) н {\textstyle \left({\frac {20}{27}}\right)^{n}} М н {\displaystyle M_{n}} 2 ( 20 / 9 ) н + 4 ( 8 / 9 ) н {\displaystyle 2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}}

Каждая грань конструкции становится ковром Серпинского , а пересечение губки с любой диагональю куба или любой средней линией граней — множеством Кантора . Поперечное сечение губки через ее центроид и перпендикулярно пространственной диагонали — правильный шестиугольник, проколотый гексаграммами, расположенными в шестикратной симметрии. [8] Количество этих гексаграмм, в порядке убывания размера, задается следующим рекуррентным соотношением : , с . [9] а н = 9 а н − 1 − 12 а н − 2 {\displaystyle a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}} а 0 = 1 ,   а 1 = 6 {\displaystyle a_{0}=1,\ a_{1}=6}

Размерность Хаусдорфа губки равна ⁠журнал 20/журнал 3⁠ ≅ 2,727. [10] Лебеговская размерность покрытия губки Менгера равна единице, как и у любой кривой . Менгер показал в конструкции 1926 года, что губка является универсальной кривой , в том смысле, что каждая кривая гомеоморфна подмножеству губки Менгера, где кривая означает любое компактное метрическое пространство лебеговской размерности покрытия один; это включает деревья и графы с произвольным счетным числом ребер, вершин и замкнутых контуров, соединенных произвольным образом. Аналогично, ковер Серпинского является универсальной кривой для всех кривых, которые можно нарисовать на двумерной плоскости. Губка Менгера, построенная в трех измерениях, распространяет эту идею на графы, которые не являются плоскими и могут быть вложены в любое количество измерений.

В 2024 году Броден, Назарет и Вот доказали, что все узлы можно найти и в губке Менгера. [11]

Губка Менгера — замкнутое множество ; поскольку оно также ограничено, теорема Гейне–Бореля подразумевает, что оно компактно . Оно имеет меру Лебега 0. Поскольку оно содержит непрерывные пути, оно является несчетным множеством .

Эксперименты также показали, что кубики со структурой, подобной губке Менгера, могут рассеивать удары в пять раз лучше для того же материала, чем кубики без каких-либо пор. [12]

Формальное определение

Формально губку Менгера можно определить следующим образом (используя пересечение множеств ):

М := ⋂ н ∈ Н М н {\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}

где единичный куб и М 0 {\displaystyle М_{0}}

М н + 1 := { ( х , у , з ) ∈ Р 3 : ( ∃ я , дж , к ∈ { 0 , 1 , 2 } ( 3 х − я , 3 у − дж , 3 з − к ) ∈ М н и самое большее одно из  я , дж , к  равно 1 ) } . {\displaystyle M_{n+1}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:\left({\begin{array}{r}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}\,\,(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\text{и не более одного из }}i,j,k{\text{ равно 1}}\end{array}}\right)\right\}.}

МегаМенер

MegaMenger был проектом, направленным на создание самой большой фрактальной модели, пионерами которого были Мэтт Паркер из Лондонского университета королевы Марии и Лора Таалман из Университета Джеймса Мэдисона . Каждый небольшой куб сделан из шести взаимосвязанных сложенных визитных карточек, что в общей сложности дает 960 000 для губки четвертого уровня. Внешние поверхности затем покрываются бумажными или картонными панелями с напечатанным рисунком ковра Серпинского, чтобы быть более эстетически приятными. [13] В 2014 году было построено двадцать губок Менгера третьего уровня, которые в совокупности образуют распределенную губку Менгера четвертого уровня. [14]

Похожие фракталы

Иерусалимский куб

Иерусалимский куб — ​​фрактальный объект, впервые описанный Эриком Бэрдом в 2011 году. Он создается путем рекурсивного сверления отверстий в форме греческого креста в кубе. [15] [16] Конструкция похожа на губку Менгера, но с двумя кубами разного размера. Название происходит от грани куба, напоминающей узор иерусалимского креста . [17]

Строение иерусалимского куба можно описать следующим образом:

  1. Начнем с куба.
  2. Прорежьте крест через каждую сторону куба, оставив восемь кубов (ранга +1) по углам исходного куба, а также двенадцать меньших кубов (ранга +2), расположенных по центру граней исходного куба между кубами ранга +1.
  3. Повторите процесс с кубиками рангов 1 и 2.

Бесконечное число итераций приводит к кубу Иерусалима.

Поскольку длина ребра куба ранга N равна длине ребра двух кубов ранга N+1 и куба ранга N+2, то отсюда следует, что масштабный коэффициент должен удовлетворять , следовательно, это означает, что фрактал не может быть построен с использованием точек на рациональной решетке . к 2 + 2 к = 1 {\displaystyle к^{2}+2к=1} к = 2 − 1 {\displaystyle k={\sqrt {2}}-1}

Так как куб ранга N делится на 8 кубов ранга N+1 и 12 кубов ранга N+2, то размерность Хаусдорфа должна удовлетворять . Точное решение: 8 к г + 12 ( к 2 ) г = 1 {\displaystyle 8k^{d}+12(k^{2})^{d}=1}

г = бревно ⁡ ( 7 6 − 1 3 ) бревно ⁡ ( 2 − 1 ) {\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}

что составляет приблизительно 2,529

Как и в случае с губкой Менгера, грани иерусалимского куба являются фракталами [17] с тем же масштабным коэффициентом. В этом случае размерность Хаусдорфа должна удовлетворять . Точное решение: 4 к г + 4 ( к 2 ) г = 1 {\displaystyle 4k^{d}+4(k^{2})^{d}=1}

г = бревно ⁡ ( 2 − 1 2 ) бревно ⁡ ( 2 − 1 ) {\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}

что составляет приблизительно 1,786

  • Третья итерация Иерусалимского куба
    Третья итерация Иерусалимского куба
  • 3D-печатная модель Иерусалимского куба
    3D-печатная модель Иерусалимского куба

Другие

Снежинка Серпинского–Менгера
  • Снежинка Мозели — это фрактал на основе куба с рекурсивно удаленными углами. [18]
  • Тетрикс — это фрактал на основе тетраэдра , состоящий из четырех меньших копий, расположенных в тетраэдре. [19]
  • Снежинка Серпинского–Менгера — это кубический фрактал, в котором восемь угловых кубов и один центральный куб сохраняются каждый раз на нижних и нижних шагах рекурсии. Этот своеобразный трехмерный фрактал имеет размерность Хаусдорфа изначально двумерного объекта, такого как плоскость, т.е. ⁠журнал 9/журнал 3⁠ =2

Смотрите также

Дальнейшее чтение

Ссылки

  1. ^ Бек, Кристиан; Шёгль, Фридрих (1995). Термодинамика хаотических систем: Введение. Cambridge University Press. стр. 97. ISBN 9780521484510.
  2. ^ Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (2013). Фракталы в науке. Springer. стр. 7. ISBN 9783642779534.
  3. ^ Менгер, Карл (2013). Воспоминания о Венском кружке и математическом коллоквиуме. Springer Science & Business Media. стр. 11. ISBN 9789401111027.
  4. ^ Менгер, Карл (1928), Dimensionstheorie , Б. Г. Тойбнер, OCLC  371071
  5. ^ Менгер, Карл (1926), "Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.", Сообщения Амстердамской академии наук. Английский перевод перепечатан в Edgar, Gerald A., ed. (2004), Classics on fractals , Studies in Nonlinearity, Westview Press. Advanced Book Program, Boulder, CO, ISBN 978-0-8133-4153-8, г-н  2049443
  6. ^ Демонстрационный проект Вольфрама, объем и площадь поверхности губки Менгера
  7. ^ Научно-исследовательская группа по образованию в области математики и естественных наук Университета Британской Колумбии, Математическая геометрия: Губка Менгера
  8. ↑ Чанг, Кеннет (27 июня 2011 г.). «Тайна губки Менгера». The New York Times . Получено 8 мая 2017 г. – через NYTimes.com.
  9. ^ "A299916 - OEIS". oeis.org . Получено 2018-08-02 .
  10. ^ Куинн, Джон Р. (2013). «Применение принципа отображения сжатия». В Карфи, Дэвид; Лапидус, Мишель Л.; Пирс, Эрин П. Дж.; ван Франкенхейсен, Мачиель (ред.). Фрактальная геометрия и динамические системы в чистой и прикладной математике. II. Фракталы в прикладной математике . Contemporary Mathematics. Том 601. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр.  345–358 . doi :10.1090/conm/601/11957. ISBN 978-0-8218-9148-3. МР  3203870.. См. Пример 2, стр. 351.
  11. ^ Барбер, Грегори (2024-11-26). «Юные математики завязывают узлы через умопомрачительный фрактал». Журнал Quanta . Получено 2024-11-29 .
  12. ^ Даттельбаум, Дана М.; Ионита, Аксинте; Паттерсон, Брайан М.; Бранч, Бриттани А.; Кюттнер, Линдси (2020-07-01). «Рассеивание ударной волны пористыми структурами с преобладанием интерфейса». AIP Advances . 10 (7): 075016. Bibcode : 2020AIPA...10g5016D. doi : 10.1063/5.0015179 .
  13. ^ Тим Шартье (10 ноября 2014 г.). «Миллион визитных карточек представляет собой математическую задачу». HuffPost . Получено 07.04.2015 .
  14. ^ "МегаМенгер" . Проверено 15 февраля 2015 г.
  15. ^ Роберт Диккау (31 августа 2014 г.). «Фрактал куба Креста Менгера (Иерусалим)». Роберт Диккау . Проверено 08 мая 2017 г.
  16. ^ Эрик Бэрд (2011-08-18). "Иерусалимский куб". Alt.Fractals . Получено 2013-03-13 ., опубликовано в журнале Tangente 150, "l'art fractal" (2013), стр. 45.
  17. ^ ab Eric Baird (2011-11-30). "The Jerusalem Square". Alt.Fractals . Получено 2021-12-09 .
  18. ^ Уэйд, Лиззи. «Складывание фрактального искусства из 49 000 визитных карточек». Wired . Получено 8 мая 2017 г.
  19. ^ W., Weisstein, Eric. "Tetrix". mathworld.wolfram.com . Получено 8 мая 2017 г. .{{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
На Викискладе есть медиафайлы по теме «Менгеровские губки» .
  • Губка Менгера в Wolfram MathWorld
  • «Губка Менгера — визитная карточка» доктора Жаннин Мозели — онлайн-выставка, посвященная этому гигантскому фракталу-оригами в Институте фигуративного моделирования
  • Интерактивная губка Менгера
  • Интерактивные модели Java
  • Puzzle Hunt — Видео, объясняющее парадоксы Зенона с использованием губки Менгера-Серпинского
  • Сфера Менгера, визуализированная в SunFlow
  • Губка Менгера Post-It – губка Менгера 3-го уровня, сделанная из самоклеящихся листочков.
  • Тайна губки Менгера. Разрезанная по диагонали, чтобы показать звезды.
  • Последовательность OEIS A212596 (Количество карт, необходимое для создания губки Менгера уровня n в оригами)
  • Шерстяные мысли Уровень 2 Губка Менгера от двух "Математикнитиков"
  • Диккау, Р.: Иерусалимский куб. Дальнейшее обсуждение.
  • Миллер, П.: Обсуждение явно определенных губок Менгера для стресс-тестирования в системах 3D-дисплеев и рендеринга


Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Губка_Менгера&oldid=1271558997"