Меандр (математика)

В математике меандр или замкнутый меандр — это замкнутая кривая , которая пересекает заданную линию несколько раз, то есть пересекает линию, переходя с одной стороны на другую. Интуитивно меандр можно рассматривать как извилистую реку с прямой дорогой , пересекающей реку по нескольким мостам. Точки пересечения линии и кривой называются «мостами».

При заданной фиксированной линии L на евклидовой плоскости меандр порядка n — это замкнутая кривая на плоскости, которая пересекает линию в 2 n точках. Два меандра эквивалентны, если один меандр может быть непрерывно деформирован в другой, сохраняя при этом его свойство быть меандром и оставляя порядок мостов на дороге в том порядке, в котором они пересекаются, неизменным.

Одиночный меандр 1-го порядка пересекает линию дважды:

Этот меандр пересекает линию четыре раза и, таким образом, имеет порядок 2:

Имеется два меандра второго порядка. Переворачивая изображение по вертикали, получаем другой.

Вот два неэквивалентных меандра 3-го порядка, каждый из которых пересекает линию шесть раз:

Число различных меандров порядка n называется меандрическим числом M _n . Ниже приведены первые пятнадцать меандрических чисел (последовательность A005315 в OEIS ).

М ₁ = 1

М ₂ = 2

М ₃ = 8

М ₄ = 42

М ₅ = 262

М ₆ = 1828

М ₇ = 13820

М ₈ = 110954

М ₉ = 933458

М ₁₀ = 8152860

М ₁₁ = 73424650

М ₁₂ = 678390116

М ₁₃ = 6405031050

М ₁₄ = 61606881612

М ₁₅ = 602188541928

Меандрическая перестановка порядка n определена на множестве {1, 2, ..., 2 n } и определяется следующим образом:

• При ориентации линии слева направо каждое пересечение меандра последовательно помечено целыми числами, начиная с 1.
• Кривая направлена ​​вверх на пересечении, обозначенном цифрой 1.
• Циклическая перестановка без неподвижных точек получается путем следования ориентированной кривой через отмеченные точки пересечения.

На диаграмме справа меандрическая перестановка порядка 4 задается как (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка, записанная в циклической нотации , и ее не следует путать с однолинейной нотацией .

Если π — меандрическая перестановка, то π ² состоит из двух циклов , один из которых содержит все четные символы, а другой — все нечетные символы. Перестановки с этим свойством называются чередующимися перестановками , поскольку символы в исходной перестановке чередуются между нечетными и четными целыми числами. Однако не все чередующиеся перестановки являются меандрическими, поскольку их может быть невозможно нарисовать, не введя самопересечение в кривую. Например, чередующаяся перестановка порядка 3 (1 4 3 6 5 2) не является меандрической.

При фиксированной линии L на евклидовой плоскости открытый меандр порядка n — это несамопересекающаяся кривая на плоскости, которая пересекает линию в n точках. Два открытых меандра эквивалентны, если один из них может быть непрерывно деформирован в другой, сохраняя при этом его свойство быть открытым меандром и оставляя порядок мостов на дороге в том порядке, в котором они пересекаются, неизменным.

Открытый меандр 1-го порядка пересекает линию один раз:

Открытый меандр 2-го порядка пересекает линию дважды:

Число различных открытых меандров порядка n — это открытое меандрическое число m _n . Ниже приведены первые пятнадцать открытых меандрических чисел (последовательность A005316 в OEIS ).

м ₁ = 1

м ₂ = 1

м ₃ = 2

м ₄ = 3

м ₅ = 8

м ₆ = 14

м ₇ = 42

м ₈ = 81

м ₉ = 262

м ₁₀ = 538

м ₁₁ = 1828

м ₁₂ = 3926

м ₁₃ = 13820

м ₁₄ = 30694

м ₁₅ = 110954

При фиксированном ориентированном луче R (замкнутой полупрямой) в евклидовой плоскости полумеандр порядка n — это несамопересекающаяся замкнутая кривая в плоскости, пересекающая луч в n точках. Два полумеандра эквивалентны, если один из них можно непрерывно деформировать в другой, сохраняя его свойство быть полумеандром и оставляя порядок мостов на луче в порядке их пересечения неизменным.

Полумеандр 1-го порядка пересекает луч один раз:

Полумеандр 2-го порядка пересекает луч дважды:

Число различных полумеандров порядка n — это полумеандрическое число M _n (обычно обозначаемое чертой сверху, а не подчеркиванием). Ниже приведены первые пятнадцать полумеандрических чисел (последовательность A000682 в OEIS ).

М ₁ = 1

М ₂ = 1

М ₃ = 2

М ₄ = 4

М ₅ = 10

М ₆ = 24

М ₇ = 66

М ₈ = 174

М ₉ = 504

М ₁₀ = 1406

М ₁₁ = 4210

М ₁₂ = 12198

М ₁₃ = 37378

М ₁₄ = 111278

М ₁₅ = 346846

Существует инъективная функция от меандрических к открытым меандрическим числам:

Мn = m2n _{− 1​​}

Каждое меандрическое число может быть ограничено полумеандрическими числами:

Мн ≤ Мн ≤ М2н_​​​​

При n > 1 меандрические числа четные :

M _n ≡ 0 (мод 2)

• «Подходы к исчислительной теории меандров» Майкла Ла Круа
• P. Di Francesco; O. Golinelli; E. Guitter (октябрь–ноябрь 1997 г.). «Статистика меандров, складок и арок». Математическое и компьютерное моделирование . 26 ( 8–10 ): 97–147 . arXiv : hep-th/9506030 . doi :10.1016/S0895-7177(97)00202-1.