Матричный полином

В математике матричный многочлен — это многочлен с квадратными матрицами в качестве переменных. Дан обычный скалярнозначный многочлен

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

этот полином, оцененный в матрице, равен${\displaystyle А}$

${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$

где — единичная матрица . ^[1]${\displaystyle Я}$

Обратите внимание, что имеет ту же размерность, что и .${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle А}$

Матричное полиномиальное уравнение — это равенство между двумя матричными полиномами, которое выполняется для конкретных рассматриваемых матриц. Матричное полиномиальное тождество — это матричное полиномиальное уравнение, которое выполняется для всех матриц A в указанном матричном кольце M _n ( R ).

Матричные многочлены часто демонстрируются на занятиях по линейной алгебре в бакалавриате из-за их значимости для демонстрации свойств линейных преобразований , представленных в виде матриц, в частности теоремы Кэли–Гамильтона .

Характеристический многочлен матрицы A — это скалярный многочлен, определяемый формулой . Теорема Кэли–Гамильтона гласит, что если этот многочлен рассматривать как матричный многочлен и вычислять его в самой матрице, то результатом будет нулевая матрица: . Многочлен аннулируется, если ; также известен как аннулирующий многочлен . Таким образом, характеристический многочлен — это многочлен, который аннулирует . ${\displaystyle p_{A}(t)=\det \left(tI-A\right)}$${\displaystyle А}$${\displaystyle p_{A}(A)=0}$ ${\displaystyle А}$${\displaystyle p(A)=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle А}$

Существует уникальный мономический многочлен минимальной степени, который аннулирует ; этот многочлен является минимальным многочленом . Любой многочлен, который аннулирует (например, характеристический многочлен), является кратным минимальному многочлену. ^[2]${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$

Отсюда следует, что для двух полиномов и мы имеем тогда и только тогда, когда ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P(A)=Q(A)}$

${\displaystyle P^{(j)}(\lambda _{i})=Q^{(j)}(\lambda _{i})\qquad {\text{для }}j=0,\ldots ,n_{i}-1{\text{ и }}i=1,\ldots ,s,}$

где обозначает -ю производную от и являются собственными значениями с соответствующими индексами (индекс собственного значения - это размер его наибольшего жорданова блока ). ^[3]${\displaystyle P^{(j)}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \lambda _{1},\точки,\lambda _{s}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle n_{1},\точки ,n_{s}}$

Матричные многочлены можно использовать для суммирования матричных геометрических рядов так же, как и для обычных геометрических рядов .

${\displaystyle S=I+A+A^{2}+\cdots +A^{n}}$

${\displaystyle AS=A+A^{2}+A^{3}+\cdots +A^{n+1}}$

${\displaystyle (IA)S=S-AS=IA^{n+1}}$

${\displaystyle S=(IA)^{-1}(IA^{n+1})}$

Если невырождено, можно вычислить выражение для суммы .${\displaystyle IA}$${\displaystyle S}$

• Теорема Латимера–МакДаффи
• Матрица экспоненциальная
• Матричная функция

• Gohberg, Israel; Lancaster, Peter ; Rodman, Leiba (2009) [1982]. Матричные многочлены . Классика прикладной математики. Том 58. Lancaster, PA: Общество промышленной и прикладной математики . ISBN 978-0-898716-81-8. Збл  1170.15300.
• Хайэм, Николас Дж. (2000). Функции матриц: теория и вычисления . SIAM. ISBN 089-871-777-9..
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1990). Матричный анализ . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-38632-6..