Колебание (математика)

В математике колебание функции или последовательности — это число, которое количественно определяет, насколько эта последовательность или функция изменяется между своими крайними значениями по мере приближения к бесконечности или точке. Как и в случае с пределами , существует несколько определений, которые придают интуитивно понятному понятию форму, подходящую для математической обработки: колебание последовательности действительных чисел , колебание действительной функции в точке и колебание функции на интервале (или открытом множестве ).

Пусть будет последовательностью действительных чисел. Колебание этой последовательности определяется как разность (возможно бесконечная) между пределом выше и пределом ниже :${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle \omega (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}}$.

Осцилляция равна нулю тогда и только тогда, когда последовательность сходится. Она не определена, если и оба равны +∞ или оба равны −∞, то есть если последовательность стремится к +∞ или −∞.${\displaystyle \limsup _ {n\to \infty }}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty}}$

Пусть — действительная функция действительной переменной. Колебание на интервале в ее области определения — это разность между супремумом и инфимумом :${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).}$

В более общем случае, если — функция на топологическом пространстве (например, метрическом ), то колебание на открытом множестве равно${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).}$

Колебание функции действительной переменной в точке определяется как предел колебания функции в -окрестности точки :${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \epsilon \to 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \эпсилон}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).}$

Это то же самое, что и разница между верхним и нижним пределом функции в точке , при условии, что точка не исключена из пределов.${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

В более общем случае, если — действительная функция на метрическом пространстве , то колебание равно${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$имеет колебание ∞ при = 0 и колебание 0 при других конечных значениях и при −∞ и +∞.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \sin {\frac {1}{x}}}$( топологическая синусоида ) имеет колебание 2 при = 0 и 0 в других местах.${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \sin x}$имеет колебание 0 при каждом конечном значении и 2 при −∞ и +∞.${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle (-1)^{x}}$или 1, −1, 1, −1, 1, −1... имеет колебание 2.

В последнем примере последовательность является периодической , а любая последовательность, которая является периодической, не будучи постоянной, будет иметь ненулевое колебание. Однако ненулевое колебание обычно не указывает на периодичность.

Геометрически график осциллирующей функции на действительных числах следует некоторому пути в плоскости xy , не останавливаясь на все меньших областях. В хорошо себя ведущих случаях путь может выглядеть как петля, возвращающаяся к себе, то есть периодическое поведение; в худших случаях совершенно нерегулярное движение, охватывающее целую область.

Колебание можно использовать для определения непрерывности функции , и оно легко эквивалентно обычному определению ε - δ (в случае функций, определенных всюду на действительной прямой): функция ƒ непрерывна в точке x ₀ тогда и только тогда, когда колебание равно нулю; ^[1] в символах, Преимущество этого определения в том, что оно количественно определяет разрыв: колебание показывает, насколько функция разрывна в точке.${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$

Например, в классификации разрывов :

• в устранимом разрыве расстояние, на которое отклоняется значение функции, является колебанием;
• в скачкообразном разрыве величина скачка является колебанием (предполагая, что значение в точке лежит между этими пределами с двух сторон);
• В существенном разрыве колебание измеряет отсутствие предела.

Это определение полезно в описательной теории множеств для изучения множества разрывов и непрерывных точек — непрерывные точки являются пересечением множеств, где колебание меньше ε (следовательно, множество G _δ ) — и дает очень быстрое доказательство одного направления условия интегрируемости Лебега . ^[2]

Колебание эквивалентно определению ε - δ путем простой перестановки и использования предела ( lim sup , lim inf ) для определения колебания: если (в заданной точке) для заданного ε ₀ не существует δ , удовлетворяющего определению ε - δ , то колебание равно по крайней мере ε ₀ , и наоборот, если для каждого ε существует требуемое δ, то колебание равно 0. Определение колебания можно естественным образом обобщить на отображения из топологического пространства в метрическое пространство.

В более общем случае, если f  : X → Y — функция из топологического пространства X в метрическое пространство Y , то колебание f определяется в каждой точке x ∈ X соотношением

${\displaystyle \omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ является\ окрестностью\ } x\right\}}$

• Волновое уравнение
• Огибающая волны
• Серия Гранди
• Ограниченное среднее колебание