Геометрия точечной массы

Геометрия массовых точек , в просторечии известная как массовые точки , является методом решения задач в геометрии , который применяет физический принцип центра масс к геометрическим задачам, включающим треугольники и пересекающиеся чевианы . ^[1] Все задачи, которые можно решить с помощью геометрии массовых точек, можно также решить с помощью подобных треугольников , векторов или отношений площадей, ^[2] но многие студенты предпочитают использовать массовые точки. Хотя современная геометрия массовых точек была разработана в 1960-х годах учениками средней школы Нью-Йорка, ^[3] было обнаружено, что эта концепция использовалась еще в 1827 году Августом Фердинандом Мёбиусом в его теории однородных координат . ^[4]

Теория материальных точек определяется следующими определениями: ^[5]

• Массовая точка - Массовая точка - это пара , также записываемая как , включающая массу и обычную точку на плоскости.${\displaystyle (м,П)}$${\displaystyle мП}$${\displaystyle м}$${\displaystyle P}$
• Совпадение . Мы говорим, что две точки и совпадают тогда и только тогда, когда и .${\displaystyle мП}$${\displaystyle nQ}$${\displaystyle м=н}$${\displaystyle P=Q}$
• Сложение - сумма двух массовых точек и имеет массу и точку , где - точка на , такая что . Другими словами, - точка опоры , которая идеально уравновешивает точки и . Пример сложения массовых точек показан справа. Сложение массовых точек замкнуто , коммутативно и ассоциативно .${\displaystyle мП}$${\displaystyle nQ}$${\displaystyle м+н}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle PQ}$${\displaystyle PR:RQ=n:m}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$
• Скалярное умножение - Для заданной точки массы и положительного действительного скаляра мы определяем умножение как . Скалярное умножение точки массы является дистрибутивным по отношению к сложению точки массы.${\displaystyle мП}$ ${\displaystyle к}$${\displaystyle k(м,P)=(км,P)}$

Сначала точке назначается масса (часто целое число, но это зависит от задачи) таким образом, как другие массы также являются целыми числами. Принцип расчета заключается в том, что основание чевианы является суммой (определенной выше) двух вершин (они являются конечными точками стороны, где лежит основание). Для каждого чевианы точка совпадения является суммой вершины и основания. Каждое отношение длины затем может быть рассчитано из масс в точках. См. пример в Задаче один.

Расщепление масс — это немного более сложный метод, необходимый, когда задача содержит трансверсали в дополнение к чевианам. Любая вершина, которая находится по обе стороны от трансверсальных крестов, будет иметь разделенную массу . Точка с разделенной массой может рассматриваться как обычная точка массы, за исключением того, что у нее есть три массы: одна используется для каждой из двух сторон, на которых она находится, и одна, которая является суммой двух других разделенных масс и используется для любых чевиан, которые у нее могут быть. См. пример задачи 2.

• Теорема Рауса - Многие задачи, связанные с треугольниками с чевианами, потребуют площади, а точечные массы не предоставляют метода для вычисления площадей. Однако теорема Рауса , которая идет рука об руку с точечными массами, использует отношения длин для вычисления отношения площадей между треугольником и треугольником, образованным тремя чевианами.
• Специальные чевианы - Когда даны чевианы со специальными свойствами, такими как биссектриса угла или высота , другие теоремы могут использоваться наряду с геометрией точечной массы, которые определяют отношения длин. Одной из очень распространенных теорем, используемых также, является теорема о биссектрисе угла .
• Теорема Стюарта . Если искать не отношения длин, а сами фактические длины, то теорему Стюарта можно использовать для определения длины всего сегмента, а затем точечные массы можно использовать для определения отношений и, следовательно, необходимых длин частей сегментов.
• Высшие измерения . Методы, используемые в геометрии точечной массы, не ограничиваются двумя измерениями; те же методы могут использоваться в задачах, связанных с тетраэдрами или даже с фигурами более высокой размерности, хотя редко бывает так, что задача, связанная с четырьмя или более измерениями, потребует использования точечной массы.

Задача. В треугольнике находится на так, что и находится на так, что . Если и пересекаются в точке , а прямая пересекается в точке , вычислите и .${\displaystyle ABC}$${\displaystyle E}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle CE=3AE}$${\displaystyle F}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle BF=3AF}$${\displaystyle БЫТЬ}$${\displaystyle CF}$${\displaystyle О}$${\displaystyle АО}$${\displaystyle до н.э.}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\tfrac {OB}{OE}}}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OA}}}$

Решение. Мы можем произвольно назначить массу точки равной . По соотношению длин, массы в точках и должны быть равны . Суммируя массы, массы в точках и должны быть равны . Более того, масса в точках равна , что делает массу в точках , которая должна быть равна Следовательно , и . См. диаграмму справа.${\displaystyle А}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle С}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle О}$${\displaystyle 4+1=5}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 5-3=2}$${\displaystyle {\tfrac {OB}{OE}}}$ ${\displaystyle =4}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OA}}={\tfrac {3}{2}}}$

Задача. В треугольнике , , , и находятся на , , и , соответственно, так что , , и . Если и пересекаются в точке , вычислите и .${\displaystyle ABC}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle до н.э.}$${\displaystyle СА}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle AE=AF=CD=2}$${\displaystyle BD=CE=3}$${\displaystyle BF=5}$${\displaystyle DE}$${\displaystyle CF}$${\displaystyle О}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OE}}}$${\displaystyle {\tfrac {OC}{OF}}}$

Решение. Поскольку эта задача включает трансверсаль, мы должны использовать разделенные массы в точке . Мы можем произвольно назначить массу точки равной . По соотношениям длин масса в точке должна быть равна , а масса в точке разделена по направлению к и к . Суммируя массы, мы получаем, что массы в точках , , и будут равны , , и , соответственно. Следовательно , и .${\displaystyle С}$${\displaystyle А}$${\displaystyle 15}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle С}$${\displaystyle 10}$${\displaystyle А}$${\displaystyle 9}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle 15}$${\displaystyle 25}$${\displaystyle 21}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OE}}={\tfrac {25}{15}}={\tfrac {5}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {OC}{OF}}={\tfrac {21}{10+9}}={\tfrac {21}{19}}}$

Задача. В треугольнике точки и находятся на сторонах и , соответственно, а точки и находятся на стороне с и . пересекается в точке и пересекается в точке . Если , , и , вычислить .${\displaystyle ABC}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle до н.э.}$${\displaystyle СА}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle БЫТЬ}$${\displaystyle CF}$${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle БЫТЬ}$${\displaystyle DG}$${\displaystyle O_{2}}$${\displaystyle FG=1}$${\displaystyle AE=AF=DB=DC=2}$${\displaystyle BG=CE=3}$${\displaystyle {\tfrac {O_{1}O_{2}}{BE}}}$

Решение. Эта задача включает две центральные точки пересечения, и , поэтому мы должны использовать несколько систем.${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle O_{2}}$

• Система один. Для первой системы мы выберем в качестве центральной точки, и поэтому можем игнорировать сегмент и точки , , и . Мы можем произвольно назначить массу в точке , а по соотношениям длин массы в точках и будут и , соответственно. Суммируя массы, мы получаем массы в точках , , и , которые будут 10, 9 и 13, соответственно. Следовательно, и .${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle DG}$${\displaystyle D}$${\displaystyle G}$${\displaystyle O_{2}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle С}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle {\tfrac {EO_{1}}{BO_{1}}}={\tfrac {3}{10}}}$${\displaystyle {\tfrac {EO_{1}}{BE}}={\tfrac {3}{13}}}$
• Система два. Для второй системы мы выберем в качестве центральной точки и, следовательно, можем игнорировать сегмент и точки и . Поскольку эта система включает трансверсаль, мы должны использовать разделенные массы в точке . Мы можем произвольно назначить массу в точке , и по соотношениям длин масса в точке равна , а масса в точке разделена в направлении и 2 в направлении . Суммируя массы, мы получаем, что массы в точках , и будут равны 4, 6 и 10 соответственно. Следовательно, и .${\displaystyle O_{2}}$${\displaystyle CF}$${\displaystyle F}$${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle С}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle А}$${\displaystyle С}$${\displaystyle D}$${\displaystyle G}$${\displaystyle O_{2}}$${\displaystyle {\tfrac {BO_{2}}{EO_{2}}}={\tfrac {5}{3+2}}=1}$${\displaystyle {\tfrac {BO_{2}}{BE}}={\tfrac {1}{2}}}$
• Исходная система. Теперь мы знаем все соотношения, необходимые для составления соотношения, о котором нас просят. Окончательный ответ можно найти следующим образом:$${\displaystyle {\tfrac {O_{1}O_{2}}{BE}}={\tfrac {BE-BO_{2}-EO_{1}}{BE}}=1-{\tfrac {BO_{2}}{BE}}-{\tfrac {EO_{1}}{BE}}=1-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{13}}={\tfrac {7}{26}}.}$$

• Медиа, связанные с геометрией точечной массы на Wikimedia Commons