фрактал Ляпунова
Тип фрактала
Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB, в области [2, 4] × [2, 4].
Деталь фрактала Ляпунова в виде ласточки. Итерационная последовательность AB, в области [3.81, 3.87] x [3.81, 3.87].
Обобщенный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AABAB, в области [2, 4] × [2, 4].
Обобщенный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью BBBBBBAAAAAA в области параметров роста ( A , B ) в [3.4, 4.0] × [2.5, 3.4], известный как Zircon Zity .

В математике фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса–Ляпунова ) — это бифуркационные фракталы, полученные из расширения логистического отображения , в котором степень роста популяции, r , периодически переключается между двумя значениями A и B. [1 ]

Фрактал Ляпунова строится путем отображения областей устойчивости и хаотического поведения (измеренных с помощью показателя Ляпунова ) в плоскости a − b для заданных периодических последовательностей a и b . На изображениях желтый цвет соответствует (устойчивости), а синий — (хаосу). λ {\displaystyle \лямбда} λ < 0 {\displaystyle \лямбда <0} λ > 0 {\displaystyle \лямбда >0}

Фракталы Ляпунова были открыты в конце 1980-х годов [2] немецко-чилийским физиком Марио Маркусом из Института молекулярной физиологии Макса Планка . Они были представлены широкой публике в научно-популярной статье о развлекательной математике, опубликованной в журнале Scientific American в 1991 году . [3]

Характеристики

Фракталы Ляпунова обычно рисуются для значений A и B в интервале . Для больших значений интервал [0,1] уже не является стабильным, и последовательность, вероятно, будет притягиваться бесконечностью, хотя сходящиеся циклы конечных значений продолжают существовать для некоторых параметров. Для всех итерационных последовательностей диагональ a = b всегда такая же, как для стандартной однопараметрической логистической функции. [ 0 , 4 ] {\displaystyle [0,4]}

Последовательность обычно начинается со значения 0,5, которое является критической точкой итеративной функции. [4] Другие (даже комплекснозначные) критические точки итеративной функции в течение одного полного раунда — это те, которые проходят через значение 0,5 в первом раунде. Сходящийся цикл должен притягивать по крайней мере одну критическую точку. [5] Следовательно, все сходящиеся циклы можно получить, просто сдвинув итеративную последовательность и оставив начальное значение 0,5. На практике сдвиг этой последовательности приводит к изменениям во фрактале, поскольку некоторые ветви покрываются другими. Например, фрактал Ляпунова для итеративной последовательности AB (см. верхний рисунок справа) не является идеально симметричным относительно a и b .

Алгоритм

Алгоритм вычисления фракталов Ляпунова работает следующим образом: [6]

  1. Выберите строку из букв A и B любой нетривиальной длины (например, AABAB).
  2. Постройте последовательность, образованную последовательными членами строки, повторенными необходимое количество раз. С {\displaystyle S}
  3. Выберите точку . ( а , б ) ∈ [ 0 , 4 ] × [ 0 , 4 ] {\displaystyle (a,b)\in [0,4]\times [0,4]}
  4. Определите функцию , если , и если . г н = а {\displaystyle r_{n}=a} С н = А {\displaystyle S_{n}=A} г н = б {\displaystyle r_{n}=b} С н = Б {\displaystyle S_{n}=B}
  5. Пусть , и вычислим итерации . х 0 = 0,5 {\displaystyle x_{0}=0,5} х н + 1 = г н х н ( 1 − х н ) {\displaystyle x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})}
  6. Вычислите показатель Ляпунова: На практике аппроксимируется путем выбора достаточно большого значения и отбрасывания первого слагаемого, как для .
    λ = лим Н → ∞ 1 Н ∑ н = 1 Н бревно ⁡ | г х н + 1 г х н | = лим Н → ∞ 1 Н ∑ н = 1 Н бревно ⁡ | г н ( 1 − 2 х н ) | {\displaystyle \lambda =\lim _{N\rightarrow \infty}{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty}{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n}(1-2x_{n})|}
    λ {\displaystyle \лямбда} Н {\displaystyle N} г 0 ( 1 − 2 х 0 ) = г н ⋅ 0 = 0 {\displaystyle r_{0}(1-2x_{0})=r_{n}\cdot 0=0} х 0 = 0,5 {\displaystyle x_{0}=0,5}
  7. Раскрасьте точку в соответствии с полученным значением . ( а , б ) {\displaystyle (а,б)} λ {\displaystyle \лямбда}
  8. Повторите шаги (3–7) для каждой точки в плоскости изображения.

Больше итераций

Больше измерений

Анимация 3D фрактала Ляпунова с последовательностью ABBBCA

Фракталы Ляпунова можно вычислить более чем в двух измерениях. Строка последовательности для n -мерного фрактала должна быть построена из алфавита с n символами, например, "ABBBCA" для 3D-фрактала, который может быть визуализирован либо как 3D-объект, либо как анимация, показывающая "срез" в направлении C для каждого кадра анимации, как в примере, приведенном здесь.

Примечания

  1. ↑ См. Маркус и Хесс 1989, стр. 553.
  2. ↑ См. Маркус и Хесс 1989 и Маркус 1990.
  3. ↑ См. Дьюдни 1991.
  4. ↑ См. Маркус 1990, стр. 483.
  5. ↑ См. Маркус 1990, стр. 486.
  6. ↑ См. Маркус 1990, стр. 481, 483 и Маркус и Хесс 1998.

Ссылки

  • Дьюдни, АК (1991). «Прыжок в пространство Ляпунова». Scientific American . 265 (3): 130–132. doi :10.1038/scientificamerican0991-178.
  • Маркус, Марио; Гесс, Бенно (1989). «Ляпуновские показатели логистического отображения с периодическим воздействием». Компьютеры и графика . 13 (4): 553–558. doi :10.1016/0097-8493(89)90019-8.
  • Маркус, Марио (1990). «Хаос в картах с непрерывными и прерывистыми максимумами». Компьютеры в физике . 4 (5): 481. doi :10.1063/1.4822940.
  • Маркус, Марио; Гесс, Бенно (1998). "Глава 12. Показатели Ляпунова логистического отображения с периодическим воздействием". В Клиффорде А. Пиковере (ред.). Хаос и фракталы. Компьютерное графическое путешествие . Elsevier. стр. 73-78. doi :10.1016/B978-0-444-50002-1.X5000-0. ISBN 978-0-444-50002-1.
  • Маркус, Марио, «Die Kunst der Mathematik», Verlag Zweitausendeins, ISBN Франкфурта 978-3-86150-767-3 
  • Фракталы и хаос EFG – показатели Ляпунова
  • Элерт, Гленн. «Пространство Ляпунова». Гипертекстовая книга «Хаос » .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ляпунов_фрактал&oldid=1192591872"