Теорема Люмера–Филлипса

В математике теорема Люмера–Филлипса, названная в честь Гюнтера Люмера и Ральфа Филлипса , представляет собой результат в теории сильно непрерывных полугрупп , который дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы линейный оператор в банаховом пространстве порождал сжимающую полугруппу .

Пусть A — линейный оператор, определенный на линейном подпространстве D ( A ) банахова пространства X. Тогда A порождает сжимающую полугруппу тогда и только тогда, когда ^[1]

1. D ( A ) плотно в X ,
2. А является диссипативным , и
3. A  −  λ ₀ I является сюръективным для некоторого λ ₀ > 0, где I обозначает оператор тождества .

Оператор, удовлетворяющий последним двум условиям, называется максимально диссипативным.

Пусть A — линейный оператор, определенный на линейном подпространстве D ( A ) рефлексивного банахова пространства X. Тогда A порождает сжимающую полугруппу тогда и только тогда, когда ^[2]

1. А является диссипативным , и
2. A  −  λ ₀ I является сюръективным для некоторого λ ₀ >  0 , где I обозначает тождественный оператор .

Обратите внимание, что условия, что D ( A ) является плотным, а A — замкнутым, опускаются по сравнению с нерефлексивным случаем. Это потому, что в рефлексивном случае они следуют из двух других условий.

Пусть A — линейный оператор, определенный на плотном линейном подпространстве D ( A ) рефлексивного банахова пространства X. Тогда A порождает сжимающую полугруппу тогда и только тогда, когда ^[3]

• A замкнут , и как A , так и его сопряженный оператор A ^∗ являются диссипативными .

В случае, если X не является рефлексивным, то это условие для того, чтобы A порождал контракционную полугруппу, все еще является достаточным, но не необходимым. ^[4]

Пусть A — линейный оператор, определенный на линейном подпространстве D ( A ) банахова пространства X. Тогда A порождает квазисжимающую полугруппу тогда и только тогда, когда

1. D ( A ) плотно в X ,
2. А закрыто ,​
3. A является квазидиссипативным, т.е. существует ω  ≥ 0 такое, что A  −  ωI является диссипативным , и
4. A  −  λ ₀ I является сюръективным для некоторого λ ₀  >  ω , где I обозначает тождественный оператор .

• Рассмотрим H  =  L ² ([0, 1];  R ) с его обычным скалярным произведением, и пусть Au  =  u ′ с областью определения D ( A ), равной функциям u в пространстве Соболева H ¹ ([0, 1];  R ) с u (1) = 0. D ( A ) является плотным. Более того, для каждого u в D ( A ),

${\displaystyle \langle u,Au\rangle =\int _{0}^{1}u(x)u'(x)\,\mathrm {d} x=- {\frac {1}{2}} и(0)^{2}\leq 0,}$

так что A диссипативно. Обыкновенное дифференциальное уравнение u'  −  λu  =  f , u (1) = 0 имеет единственное решение u в H ¹ ([0, 1];  R ) для любого f в L ² ([0, 1];  R ), а именно

${\displaystyle u(x)={\rm {e}}^{\lambda x}\int _{1}^{x}{\rm {e}}^{-\lambda t}f(t)\,dt}$

так что условие сюръективности выполняется. Следовательно, по рефлексивной версии теоремы Люмера–Филлипса A порождает сжимающую полугруппу.

Существует еще множество примеров, когда прямое применение теоремы Люмера–Филлипса дает желаемый результат.

В сочетании с теорией трансляции, масштабирования и возмущения теорема Люмера–Филлипса является основным инструментом для демонстрации того, что некоторые операторы порождают сильно непрерывные полугруппы . Ниже приведен пример.

• Нормальный оператор (оператор, коммутирующий со своим сопряженным) в гильбертовом пространстве порождает сильно непрерывную полугруппу тогда и только тогда, когда его спектр ограничен сверху. ^[5]

• Люмер, Гюнтер и Филлипс, Р. С. (1961). «Диссипативные операторы в банаховом пространстве». Pacific J. Math . 11 : 679–698. doi : 10.2140/pjm.1961.11.679 . ISSN  0030-8730.
• Ренарди, Майкл и Роджерс, Роберт К. (2004). Введение в уравнения с частными производными . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 356. ISBN 0-387-00444-0.
• Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000), Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений , Springer
• Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), Векторные преобразования Лапласа и задачи Коши , Биркхаузер
• Стаффанс, Олоф (2005), Корректно поставленные линейные системы , Cambridge University Press
• Ло, Чжэн-Хуа; Го, Бао-Чжу; Моргул, Омер (1999), Устойчивость и стабилизация бесконечномерных систем с приложениями , Springer