Вариант обратного просмотра

Опционы с оглядкой назад , в терминологии финансов , являются типом экзотического опциона с зависимостью от пути, среди многих других видов опционов . Выплата зависит от оптимальной (максимальной или минимальной) цены базового актива, возникающей в течение срока действия опциона. Опцион позволяет держателю «оглядываться назад» с течением времени, чтобы определить выплату. Существует два вида опционов с оглядкой назад: с плавающим страйком и с фиксированным страйком.

Опцион назад с плавающим страйком

Как следует из названия, цена исполнения опциона плавающая и определяется при погашении. Плавающий страйк — это оптимальное значение цены базового актива в течение срока действия опциона. Выплата — это максимальная разница между рыночной ценой актива при погашении и плавающим страйком. Для колла цена исполнения фиксируется на уровне самой низкой цены актива в течение срока действия опциона, а для пут — на уровне самой высокой цены актива. Обратите внимание, что эти опционы на самом деле не являются опционами, поскольку они всегда будут исполняться их держателем. Фактически, опцион никогда не бывает вне денег, что делает его более дорогим, чем стандартный опцион. Функции выплат для оглядки назад колла и оглядки назад пут соответственно задаются следующим образом:

Л С ф л о а т = макс ( С Т − С м я н , 0 ) = С Т − С м я н ,     и     Л П ф л о а т = макс ( С м а х − С Т , 0 ) = С м а х − С Т , {\displaystyle LC_{float}=\max(S_{T}-S_{min},0)=S_{T}-S_{min},~~{\text{и}}~~LP_{float}=\max(S_{max}-S_{T},0)=S_{max}-S_{T},}

где — максимальная цена актива в течение срока действия опциона, — минимальная цена актива в течение срока действия опциона, — цена базового актива при погашении . С м а х {\displaystyle S_{макс}} С м я н {\displaystyle S_{мин}} С Т {\displaystyle S_{T}} Т {\displaystyle Т}

Опцион на обратную продажу с фиксированным страйком

Что касается стандартных европейских опционов , цена исполнения опциона фиксирована. Разница в том, что опцион не исполняется по цене на момент погашения: выплата равна максимальной разнице между оптимальной ценой базового актива и ценой исполнения. Для опциона колл держатель выбирает исполнение в момент, когда цена базового актива находится на самом высоком уровне. Для опциона пут держатель выбирает исполнение по самой низкой цене базового актива. Функции выплат для lookback call и lookback put соответственно определяются следующим образом:

Л С ф я х = макс ( С м а х − К , 0 ) ,     и     Л П ф я х = макс ( К − С м я н , 0 ) , {\displaystyle LC_{fix}=\max(S_{max}-K,0),~~{\text{и}}~~LP_{fix}=\max(K-S_{min},0),}

где — максимальная цена актива в течение срока действия опциона, — минимальная цена актива в течение срока действия опциона, — цена исполнения. С м а х {\displaystyle S_{макс}} С м я н {\displaystyle S_{мин}} К {\displaystyle К}

Безарбитражная цена опционов lookback с плавающим страйком

Используя модель Блэка–Шоулза и ее обозначения, мы можем оценить европейские опционы с оглядкой назад с плавающим страйком. Метод оценки намного сложнее, чем для стандартных европейских опционов, и его можно найти в Musiela . [1] Предположим, что существует непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка и постоянная волатильность акций . Предположим, что время до погашения составляет , и что мы оценим опцион в момент времени , хотя срок действия опциона начался в нулевой момент времени. Определим . Наконец, установим, что г > 0 {\displaystyle r>0} σ > 0 {\displaystyle \сигма >0} Т > 0 {\displaystyle Т>0} т < Т {\displaystyle т<Т} τ = Т − т {\displaystyle \tau =Tt}

М = макс 0 ≤ ты ≤ т С ты ,     м = мин 0 ≤ ты ≤ т С ты  и  С т = С . {\displaystyle M=\max _{0\leq u\leq t}S_{u},~~m=\min _{0\leq u\leq t}S_{u}{\text{ и }}S_{t}=S.}

Тогда цена опциона колл с оглядкой на прошлое с плавающей ценой страйк определяется по формуле:

Л С т = С Ф ( а 1 ( С , м ) ) − м е − г τ Ф ( а 2 ( С , м ) ) − С σ 2 2 г ( Ф ( − а 1 ( С , м ) ) − е − г τ ( м / С ) 2 г σ 2 Ф ( − а 3 ( С , м ) ) ) , {\displaystyle LC_{t}=S\Phi (a_{1}(S,m))-me^{-r\tau }\Phi (a_{2}(S,m))-{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (-a_{1}(S,m))-e^{-r\tau }(m/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (-a_{3}(S,m))),}

где

а 1 ( С , ЧАС ) = вн ⁡ ( С / ЧАС ) + ( г + 1 2 σ 2 ) τ σ τ {\displaystyle a_{1}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}}
а 2 ( С , ЧАС ) = вн ⁡ ( С / ЧАС ) + ( г − 1 2 σ 2 ) τ σ τ = а 1 ( С , ЧАС ) − σ τ {\displaystyle a_{2}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-\sigma {\sqrt {\tau }}}
а 3 ( С , ЧАС ) = вн ⁡ ( С / ЧАС ) − ( г − 1 2 σ 2 ) τ σ τ = а 1 ( С , ЧАС ) − 2 г τ σ ,  с  ЧАС > 0 , С > 0 , {\displaystyle a_{3}(S,H)={\frac {\ln(S/H)-(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-{\frac {2r{\sqrt {\tau }}}{\sigma }},{\text{ with }}H>0,S>0,}

и где — стандартная нормальная кумулятивная функция распределения , . Φ {\displaystyle \Phi } Φ ( a ) = 1 2 π ∫ − ∞ a e − x 2 2 d x {\displaystyle \Phi (a)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{a}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx}

Аналогично, цена опциона пут с оглядкой на прошлое с плавающей ценой исполнения определяется по формуле:

L P t = − S Φ ( − a 1 ( S , M ) ) + M e − r τ Φ ( − a 2 ( S , M ) ) + S σ 2 2 r ( Φ ( a 1 ( S , M ) ) − e − r τ ( M / S ) 2 r σ 2 Φ ( a 3 ( S , M ) ) ) . {\displaystyle LP_{t}=-S\Phi (-a_{1}(S,M))+Me^{-r\tau }\Phi (-a_{2}(S,M))+{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (a_{1}(S,M))-e^{-r\tau }(M/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (a_{3}(S,M))).}

Варианты частичного обратного просмотра

Частичные опционы с оглядкой назад являются подклассом опционов с оглядкой назад с той же структурой выплат, но с целью снижения их справедливой цены. Один из способов — масштабировать справедливую цену линейно с константой , где . [2] Таким образом, выплата составляет: λ {\displaystyle \lambda } 0 < λ < 1 {\displaystyle 0<\lambda <1}

λ ( max { S i } 1 T − S T ) {\displaystyle \lambda (\max\{S_{i}\}_{1}^{T}-S_{T})}

Выбор конкретных дат — более сложный способ создания частичных опционов с оглядкой назад и других частичных опционов, зависящих от пути. Принцип заключается в выборе подмножества дат мониторинга, чтобы условие оглядки назад было менее сильным и, таким образом, уменьшало премию. Примерами являются частичный опцион с оглядкой назад, предложенный Хейненом и Кэт, [3] и амнезиальный опцион с оглядкой назад, предложенный Чангом и Ли. [4] Дискретные частичные опционы, зависящие от пути, переоценены при непрерывных предположениях; их ценообразование является сложным и обычно выполняется с использованием численных методов. [5] [6]

Ссылки

  1. ^ Мусиела, Марк; Рутковски, Марек (25 ноября 2004 г.). Методы Мартингейла в финансовом моделировании . Спрингер. ISBN 978-3-540-20966-9.
  2. ^ Конзе, Антуан; Вишванатан (1991). «Опционы, зависящие от пути: случай опционов с оглядкой назад». Журнал финансов . 46 (5): 1893–1907. doi :10.1111/j.1540-6261.1991.tb04648.x.
  3. ^ Хейнен, Роберт; Гарри, Кэт (1995). «Опционы с оглядкой назад с дискретным и частичным мониторингом базовой цены». Прикладная математика в финансах . 2 (4): 273–284. doi :10.1080/13504869500000014.
  4. ^ Чанг, Хо- Чун Герберт; Ли, Кевин (2018). «Вариант амнезиака: выборочно контролируемые варианты обратного просмотра и криптовалюты». Frontiers in Applied Mathematics and Statistics . 4. doi : 10.3389/fams.2018.00010 .
  5. ^ Боярченко, Светлана; Левендорский, Сергей (2013). «Эффективное обращение Лапласа, факторизация Винера-Хопфа и ретроспективное ценообразование». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 16 (3): 1350011. doi :10.1142/S0219024913500118.
  6. ^ Фэн, Лиминг; Линецкий, Вадим (2009). «Вычисление экспоненциальных моментов дискретного максимума процесса Леви и опционов обратного просмотра». Финансы и стохастика . 13 (3): 1350011. doi :10.1142/S0219024913500118.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lookback_option&oldid=1222002960"