Логарифмическое распределение t
Лог-t или лог-Стьюдент t
Параметры μ ^ {\displaystyle {\шляпа {\му }}} ( реальный ), параметр местоположения (реальный), параметр масштаба (реальный), параметр степеней свободы ( формы )
σ ^ > 0 {\displaystyle \displaystyle {\hat {\sigma }}>0\!}
ν {\displaystyle \nu}
Поддерживать х ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle \displaystyle x\in (0,+\infty)\!}
PDF п ( х ∣ ν , μ ^ , σ ^ ) = Г ( ν + 1 2 ) х Г ( ν 2 ) π ν σ ^ ( 1 + 1 ν ( вн ⁡ х − μ ^ σ ^ ) 2 ) − ν + 1 2 {\displaystyle p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{x\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\hat {\sigma }}\,}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {\ln x-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}
Иметь в видубесконечный
Медиана е μ ^ {\displaystyle е^{\hat {\mu }}\,}
Дисперсиябесконечный
Асимметрияне существует
Избыточный эксцессне существует
МГФне существует

В теории вероятностей логарифмическое распределение t или логарифмическое распределение Стьюдента t — это распределение вероятностей случайной величины , логарифм которой распределен в соответствии с распределением Стьюдента t . Если X — случайная величина с распределением Стьюдента t, то Y = exp( X ) имеет логарифмическое распределение t; аналогично, если Y имеет логарифмическое распределение t, то X  = log( Y ) имеет распределение t Стьюдента t. [1]

Характеристика

Распределение log-t имеет функцию плотности вероятности :

п ( х ∣ ν , μ ^ , σ ^ ) = Г ( ν + 1 2 ) х Г ( ν 2 ) π ν σ ^ ( 1 + 1 ν ( вн ⁡ х − μ ^ σ ^ ) 2 ) − ν + 1 2 {\displaystyle p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{x\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\hat {\sigma }}\,}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {\ln x-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}} ,

где — параметр местоположения базового (нестандартизированного) t-распределения Стьюдента, — параметр масштаба базового (нестандартизированного) t-распределения Стьюдента, — число степеней свободы базового t-распределения Стьюдента. [1] Если и то базовое распределение является стандартизированным t-распределением Стьюдента. μ ^ {\displaystyle {\шляпа {\му }}} σ ^ {\displaystyle {\hat {\sigma }}} ν {\displaystyle \nu} μ ^ = 0 {\displaystyle {\hat {\mu }}=0} σ ^ = 1 {\displaystyle {\hat {\sigma }}=1}

Если тогда распределение является логарифмическим распределением Коши . [1] При стремлении к бесконечности распределение приближается к логарифмически нормальному распределению . [1] [2] Хотя логарифмически нормальное распределение имеет конечные моменты , для любых конечных степеней свободы среднее значение и дисперсия , а также все более высокие моменты логарифмического распределения t бесконечны или не существуют. [1] ν = 1 {\displaystyle \nu =1} ν {\displaystyle \nu}

Распределение log-t является частным случаем обобщенного бета-распределения второго рода . [1] [3] [4] Распределение log-t является примером сложного распределения вероятностей между логнормальным распределением и обратным гамма-распределением , при этом параметр дисперсии логнормального распределения является случайной величиной, распределенной в соответствии с обратным гамма-распределением. [3] [5]

Приложения

Распределение log-t имеет приложения в финансах. [3] Например, распределение доходности фондового рынка часто показывает более толстые хвосты, чем нормальное распределение , и, таким образом, имеет тенденцию лучше соответствовать распределению Стьюдента, чем нормальное распределение. В то время как модель Блэка-Шоулза, основанная на логнормальном распределении, часто используется для оценки опционов на акции , формулы оценки опционов, основанные на распределении log-t, могут быть предпочтительной альтернативой, если доходность имеет толстые хвосты. [6] Тот факт, что распределение log-t имеет бесконечное среднее, является проблемой при его использовании для оценки опционов, но существуют методы преодоления этого ограничения, например, путем усечения функции плотности вероятности до некоторого произвольно большого значения. [6] [7] [8]

Распределение log-t также применяется в гидрологии и при анализе данных о ремиссии рака . [1] [9]

Многомерное логарифмическое распределение

Аналогично логнормальному распределению существуют многомерные формы логарифмического распределения t. В этом случае параметр местоположения заменяется вектором μ , параметр масштаба заменяется матрицей Σ . [1]

Ссылки

  1. ^ abcdefgh Олосунде, Акинлолу и Олофинтуаде, Сильвестр (январь 2022 г.). «Некоторые проблемы вывода из Т-распределения Стьюдента и его многомерного расширения». Revista Colombiana de Estadística — Прикладная статистика . 45 (1): 209–229 . doi : 10.15446/rce.v45n1.90672 . Проверено 1 апреля 2022 г.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  2. ^ Маршалл, Альберт В.; Олкин, Ингрэм (2007). Распределения жизни: структура непараметрических, полупараметрических и параметрических семейств . Springer. стр. 445. ISBN 978-1921209680.
  3. ^ abc Bookstaber, Richard M.; McDonald, James B. (июль 1987 г.). «Общее распределение для описания доходности цен на ценные бумаги». The Journal of Business . 60 (3). University of Chicago Press: 401– 424. doi : 10.1086/296404. JSTOR  2352878. Получено 05.04.2022 .
  4. ^ Макдональд, Джеймс Б.; Батлер, Ричард Дж. (май 1987 г.). «Некоторые обобщенные смешанные распределения с применением к продолжительности безработицы». Обзор экономики и статистики . 69 (2): 232– 240. doi :10.2307/1927230. JSTOR  1927230.
  5. ^ Ванегас, Луис Эрнандо; Паула, Жилберто А. (2016). «Лог-симметричные распределения: статистические свойства и оценка параметров». Бразильский журнал вероятности и статистики . 30 (2): 196–220 . doi : 10.1214/14-BJPS272 .
  6. ^ ab Cassidy, Daniel T.; Hamp, Michael J.; Ouyed, Rachid (2010). «Оценивание европейских опционов с использованием логарифмического распределения Стьюдента: формула Госсета». Physica A. 389 ( 24): 5736– 5748. arXiv : 0906.4092 . Bibcode : 2010PhyA..389.5736C. doi : 10.1016/j.physa.2010.08.037. S2CID  100313689.
  7. ^ Коу, СГ (август 2022 г.). «Модель скачка-диффузии для ценообразования опционов». Management Science . 48 (8): 1086– 1101. doi :10.1287/mnsc.48.8.1086.166. JSTOR  822677 . Получено 05.04.2022 .
  8. ^ Баснарков, Ласко; Стойкоски, Виктор; Утковски, Зоран; Кокарев, Люпко (2019). «Оценивание опционов с тяжелыми хвостами распределений логарифмической доходности». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 22 (7). arXiv : 1807.01756 . doi : 10.1142/S0219024919500419. S2CID  121129552.
  9. ^ Viglione, A. (2010). «О распределении выборки коэффициента L-вариации для гидрологических приложений» (PDF) . Обсуждения гидрологии и наук о системах Земли . 7 : 5467– 5496. doi : 10.5194/hessd-7-5467-2010 . Получено 01.04.2022 .
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Log-t_distribution&oldid=1188060586"