заказ Лёвнера

В математике порядок Лёвнера — это частичный порядок, определяемый выпуклым конусом положительно полуопределённых матриц . Этот порядок обычно используется для обобщения определений монотонных и вогнутых/выпуклых скалярных функций до монотонных и вогнутых/выпуклых эрмитовозначных функций . Эти функции естественным образом возникают в теории матриц и операторов и имеют приложения во многих областях физики и техники.

Пусть A и B — две эрмитовы матрицы порядка n . Мы говорим, что A ≥ B , если A  −  B положительно полуопределена . Аналогично, мы говорим, что A > B, если A  −  B положительно определена .

Когда A и B являются действительными скалярами (т.е. n = 1), порядок Лёвнера сводится к обычному порядку R. Хотя некоторые знакомые свойства обычного порядка R также действительны, когда n ≥ 2, некоторые свойства больше не действительны. Например, сравнимость двух матриц может больше не быть действительной. Фактически, если и то ни A ≥ B , ни B ≥ A не выполняется.${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\ }$${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\ }$

Более того, поскольку A и B являются эрмитовыми матрицами, их собственные значения являются действительными числами. Если λ ₁ ( B ) является максимальным собственным значением B , а λ _n ( A ) — минимальным собственным значением A , то достаточным критерием для того, чтобы A ≥ B , является λ _n ( A ) ≥ λ ₁ ( B ). Если A или B являются кратными единичной матрицы , то этот критерий также необходим.

Порядок Лёвнера не обладает свойством наименьшей верхней границы и, следовательно, не образует решетку .

• Прослеживать неравенства

• Пукельсхайм, Фридрих (2006). Оптимальный дизайн экспериментов . Общество промышленной и прикладной математики. С. 11–12. ISBN 9780898716047.
• Бхатия, Раджендра (1997). Матричный анализ . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9781461206538.
• Чжань, Синчжи (2002). Матричные неравенства . Берлин: Springer. С. 1–15. ISBN 9783540437987.