Параметр местоположения
Понятие в статистике

В статистике параметр местоположения распределения вероятностей — это скалярный или векторный параметр , который определяет «местоположение» или сдвиг распределения. В литературе по оценке параметра местоположения распределения вероятностей с таким параметром формально определяются одним из следующих эквивалентных способов: х 0 {\displaystyle x_{0}}

Прямым примером параметра местоположения является параметр нормального распределения . Чтобы увидеть это, обратите внимание, что функция плотности вероятности нормального распределения может иметь параметр, вынесенный за скобки, и может быть записана как: μ {\displaystyle \мю} ф ( х | μ , σ ) {\displaystyle f(x|\mu ,\sigma )} Н ( μ , σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu,\sigma ^{2})} μ {\displaystyle \мю}

г ( у − μ | σ ) = 1 σ 2 π е − 1 2 ( у σ ) 2 {\displaystyle g(y-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{\sigma }}\right)^{2}}}

тем самым выполняя первое из приведенных выше определений.

Приведенное выше определение показывает, что в одномерном случае при увеличении плотность вероятности или функция массы жестко сдвигается вправо, сохраняя свою точную форму. х 0 {\displaystyle x_{0}}

Параметр местоположения также может быть найден в семействах, имеющих более одного параметра, таких как семейства местоположения-масштаба . В этом случае функция плотности вероятности или функция массы вероятности будет частным случаем более общей формы

ф х 0 , θ ( х ) = ф θ ( х − х 0 ) {\displaystyle f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})}

где — параметр местоположения, θ представляет дополнительные параметры, а — функция, параметризованная по дополнительным параметрам. х 0 {\displaystyle x_{0}} ф θ {\displaystyle f_{\theta}}

Определение

Источник: [4]

Пусть — любая функция плотности вероятности, а и — любые заданные константы. Тогда функция ф ( х ) {\displaystyle f(x)} μ {\displaystyle \мю} σ > 0 {\displaystyle \сигма >0}

г ( х | μ , σ ) = 1 σ ф ( х − μ σ ) {\displaystyle g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}

— это функция плотности вероятности.


Семейство местоположений тогда определяется следующим образом:

Пусть — любая функция плотности вероятности. Тогда семейство функций плотности вероятности называется семейством местоположения со стандартной функцией плотности вероятности , где — параметр местоположения для семейства. ф ( х ) {\displaystyle f(x)} Ф = { ф ( х − μ ) : μ ∈ Р } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(x-\mu ):\mu \in \mathbb {R} \}} ф ( х ) {\displaystyle f(x)} μ {\displaystyle \мю}

Аддитивный шум

Альтернативный способ мышления о семействах местоположений — через концепцию аддитивного шума . Если — константа, а W — случайный шум с плотностью вероятности , то имеет плотность вероятности , и его распределение, следовательно, является частью семейства местоположений. х 0 {\displaystyle x_{0}} ф Вт ( ж ) , {\displaystyle f_{W}(w),} Х = х 0 + Вт {\displaystyle X=x_{0}+W} ф х 0 ( х ) = ф Вт ( х − х 0 ) {\displaystyle f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})}

Доказательства

Для непрерывного одномерного случая рассмотрим функцию плотности вероятности , где — вектор параметров. Параметр местоположения можно добавить, определив: ф ( х | θ ) , х ∈ [ а , б ] ⊂ Р {\displaystyle f(x|\theta),x\in [a,b]\subset \mathbb {R} } θ {\displaystyle \тета} х 0 {\displaystyle x_{0}}

г ( х | θ , х 0 ) = ф ( х − х 0 | θ ) , х ∈ [ а − х 0 , б − х 0 ] {\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})=f(x-x_{0}|\theta ),\;x\in [a-x_{0},b-x_{0}]}

можно доказать, что это pdf, проверив, удовлетворяет ли она двум условиям [5] и . интегрируется с 1, потому что: г {\displaystyle г} г ( х | θ , х 0 ) ≥ 0 {\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0} ∫ − ∞ ∞ г ( х | θ , х 0 ) г х = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=1} g {\displaystyle g}

∫ − ∞ ∞ g ( x | θ , x 0 ) d x = ∫ a − x 0 b − x 0 g ( x | θ , x 0 ) d x = ∫ a − x 0 b − x 0 f ( x − x 0 | θ ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}f(x-x_{0}|\theta )dx}

Теперь, изменив переменную и обновив интервал интегрирования, получим: u = x − x 0 {\displaystyle u=x-x_{0}}

∫ a b f ( u | θ ) d u = 1 {\displaystyle \int _{a}^{b}f(u|\theta )du=1}

поскольку по гипотезе является PDF-файлом. следует из совместного использования того же изображения , которое является PDF-файлом, поэтому его изображение содержится в . f ( x | θ ) {\displaystyle f(x|\theta )} g ( x | θ , x 0 ) ≥ 0 {\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0} g {\displaystyle g} f {\displaystyle f} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Такеучи, Кей (1971). «Равномерно асимптотически эффективная оценка параметра местоположения». Журнал Американской статистической ассоциации . 66 (334): 292– 301. doi :10.1080/01621459.1971.10482258. S2CID  120949417.
  2. ^ Huber, Peter J. (1992). "Надежная оценка параметра местоположения". Прорывы в статистике . Springer Series in Statistics. Springer. стр.  492–518 . doi :10.1007/978-1-4612-4380-9_35. ISBN 978-0-387-94039-7.
  3. ^ Стоун, Чарльз Дж. (1975). «Адаптивные оценки максимального правдоподобия параметра местоположения». Анналы статистики . 3 (2): 267– 284. doi : 10.1214/aos/1176343056 .
  4. ^ Казелла, Джордж; Бергер, Роджер (2001). Статистический вывод (2-е изд.). Thomson Learning. стр. 116. ISBN 978-0534243128.
  5. ^ Росс, Шелдон (2010). Введение в вероятностные модели . Амстердам Бостон: Academic Press. ISBN 978-0-12-375686-2. OCLC  444116127.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Location_parameter&oldid=1267314631"