Атлас (топология)

В математике , в частности топологии , атлас — это понятие, используемое для описания многообразия . Атлас состоит из отдельных диаграмм , которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. В целом, понятие атласа лежит в основе формального определения многообразия и связанных с ним структур, таких как векторные расслоения и другие расслоения волокон .

Определение атласа зависит от понятия карты . Карта для топологического пространства M — это гомеоморфизм открытого подмножества U пространства M на открытое подмножество евклидова пространства . Карта традиционно записывается как упорядоченная пара . ^[1]${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle (U,\varphi)}$

Когда система координат выбирается в евклидовом пространстве, это определяет координаты на : координаты точки определяются как координаты Пара, образованная диаграммой, и такая система координат называется локальной системой координат , координатной диаграммой , координатной клеткой , координатной картой или локальной системой координат .${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \varphi (P).}$

Атлас для топологического пространства — это индексированное семейство карт, на которых покрывается (то есть ). Если для некоторого фиксированного n изображение каждой карты является открытым подмножеством n -мерного евклидова пространства , то говорят, что это n -мерное многообразие . ${\displaystyle М}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha},\varphi _{\alpha}):\alpha \in I\}}$${\displaystyle М}$ ${\displaystyle М}$${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$${\displaystyle М}$

Множественное число слова atlas — atlases , хотя некоторые авторы используют atlantes . ^{[2] [3]}

Атлас на -мерном многообразии называется адекватным атласом, если выполняются следующие условия: ^{[ необходимо разъяснение ]}${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle М}$

• Изображение каждой диаграммы либо , либо , где - замкнутое полупространство , ^{[ необходимо разъяснение ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$
• ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$является локально конечным открытым покрытием , и${\displaystyle М}$
• ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$, где — открытый шар радиуса 1 с центром в начале координат.${\displaystyle B_{1}}$

Каждое многообразие , удовлетворяющее второй арифметической системе , допускает адекватный атлас. ^[4] Более того, если — открытое покрытие многообразия, удовлетворяющего второй арифметической системе , то существует адекватный атлас на , такой что — уточнение . ^[4]${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Карта перехода предоставляет способ сравнения двух карт атласа. Чтобы сделать это сравнение, мы рассматриваем состав одной карты с инверсией другой . Этот состав не будет четко определен, если мы не ограничим обе карты пересечением их областей определения . (Например, если у нас есть карта Европы и карта России, то мы можем сравнить эти две карты по их перекрытию, а именно по европейской части России.)

Чтобы быть более точным, предположим, что и являются двумя картами для многообразия M, такого что непусто . Карта перехода — это карта, определяемая формулой${\displaystyle (U_{\alpha},\varphi _{\alpha})}$${\displaystyle (U_{\beta},\varphi _{\beta})}$${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _ {\alpha,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta})\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha } \cap U_{\beta })}$$${\displaystyle \tau _ {\alpha,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$$

Обратите внимание, что поскольку и являются гомеоморфизмами, отображение перехода также является гомеоморфизмом.${\displaystyle \varphi _ {\alpha }}$${\displaystyle \varphi _ {\beta }}$${\displaystyle \тау _{\альфа ,\бета }}$

Часто требуется больше структуры на многообразии, чем просто топологическая структура. Например, если требуется однозначное понятие дифференциации функций на многообразии, то необходимо построить атлас, функции перехода которого дифференцируемы . Такое многообразие называется дифференцируемым . При наличии дифференцируемого многообразия можно однозначно определить понятие касательных векторов , а затем и производных по направлению .

Если каждая функция перехода является гладким отображением , то атлас называется гладким атласом , а само многообразие называется гладким . В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы отображения перехода имели только k непрерывных производных, в этом случае атлас называется .${\displaystyle C^{k}}$

В самом общем случае, если каждая функция перехода принадлежит псевдогруппе гомеоморфизмов евклидова пространства, то атлас называется -атласом . Если отображения перехода между картами атласа сохраняют локальную тривиализацию , то атлас определяет структуру расслоения.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

• Гладкий атлас
• Гладкая рамка

• Атлас Роуленда, Тодда