Линейное уравнение

В математике линейное уравнение — это уравнение , которое можно представить в виде , где — переменные (или неизвестные ), а — коэффициенты , которые часто являются действительными числами . Коэффициенты можно рассматривать как параметры уравнения, и они могут быть произвольными выражениями , при условии, что они не содержат ни одной из переменных. Чтобы получить осмысленное уравнение, требуется, чтобы не все коэффициенты были равны нулю.${\displaystyle a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle б,а_{1},\ldots ,а_{н}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

Альтернативно, линейное уравнение можно получить, приравняв к нулю линейный многочлен над некоторым полем , из которого берутся коэффициенты.

Решениями такого уравнения являются значения, которые при подстановке вместо неизвестных делают равенство верным .

В случае только одной переменной существует ровно одно решение (при условии, что ). Часто термин линейное уравнение неявно относится к этому частному случаю, в котором переменная разумно называется неизвестной .${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

В случае двух переменных каждое решение можно интерпретировать как декартовы координаты точки евклидовой плоскости . Решения линейного уравнения образуют линию в евклидовой плоскости, и, наоборот, каждую линию можно рассматривать как множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными. Отсюда и происходит термин « линейный» для описания этого типа уравнений. В более общем смысле, решения линейного уравнения с n переменными образуют гиперплоскость (подпространство размерности n − 1 ) в евклидовом пространстве размерности n .

Линейные уравнения часто встречаются во всей математике и ее приложениях в физике и технике , отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо аппроксимируются линейными уравнениями.

В данной статье рассматривается случай одного уравнения с коэффициентами из области действительных чисел , для которого изучаются действительные решения. Все ее содержание применимо к комплексным решениям и, в более общем смысле, к линейным уравнениям с коэффициентами и решениями в любой области . Для случая нескольких одновременных линейных уравнений см. система линейных уравнений .

Линейное уравнение с одной переменной x можно записать как . ${\displaystyle ax+b=0,}$${\displaystyle а\neq 0}$

Решение есть .${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}$

Линейное уравнение с двумя переменными x и y можно записать как, где a и b оба не равны 0. [ ^1]${\displaystyle ax+by+c=0,}$

Если a и b — действительные числа, то уравнение имеет бесконечно много решений.

Если b ≠ 0 , уравнение

${\displaystyle ax+by+c=0}$

является линейным уравнением с одной переменной y для каждого значения x . Поэтому оно имеет единственное решение для y , которое задается как

${\displaystyle y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.}$

Это определяет функцию . График этой функции представляет собой линию с наклоном и осью y . Функции, графиком которых является линия, в контексте исчисления обычно называются линейными функциями . Однако в линейной алгебре линейная функция — это функция, которая отображает сумму в сумму образов слагаемых. Таким образом, для этого определения указанная выше функция является линейной только при c = 0 , то есть когда линия проходит через начало координат. Чтобы избежать путаницы, функции, графиком которых является произвольная линия, часто называют аффинными функциями , а линейные функции, такие что c = 0, часто называют линейными отображениями .${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle -{\frac {c}{b}}.}$

Каждое решение ( x , y ) линейного уравнения

${\displaystyle ax+by+c=0}$

можно рассматривать как декартовы координаты точки на евклидовой плоскости . При такой интерпретации все решения уравнения образуют линию , при условии, что a и b оба не равны нулю. И наоборот, каждая линия является множеством всех решений линейного уравнения.

Термин «линейное уравнение» берет свое начало в этом соответствии между линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение, решения которого образуют линию.

Если b ≠ 0 , линия является графиком функции x , которая была определена в предыдущем разделе. Если b = 0 , линия является вертикальной линией (то есть линией , параллельной оси y ) уравнения , которое не является графиком функции x .${\displaystyle x=-{\frac {c}{a}},}$

Аналогично, если a ≠ 0 , линия является графиком функции y , а если a = 0 , то имеем горизонтальную линию уравнения${\displaystyle y=-{\frac {c}{b}}.}$

Существуют различные способы определения линии. В следующих подразделах в каждом случае приводится линейное уравнение линии.

Невертикальная линия может быть определена ее наклоном m и ее точкой пересечения с осью y ₀ ( координатой y ее пересечения с осью y ). В этом случае ее линейное уравнение можно записать

${\displaystyle y=mx+y_{0}.}$

Если, кроме того, линия не горизонтальна, ее можно определить по ее наклону и ее точке пересечения с осью x x ₀ . В этом случае ее уравнение можно записать

${\displaystyle y=m(x-x_{0}),}$

или, что то же самое,

${\displaystyle y=mx-mx_{0}.}$

Эти формы основаны на привычке рассматривать невертикальную линию как график функции . ^[2] Для линии, заданной уравнением

${\displaystyle ax+by+c=0,}$

эти формы можно легко вывести из соотношений

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}}$

Невертикальная линия может быть определена ее наклоном m и координатами любой точки линии. В этом случае линейное уравнение линии имеет вид${\displaystyle x_{1},y_{1}}$

${\displaystyle y=y_{1}+m(x-x_{1}),}$

или

${\displaystyle y=mx+y_{1}-mx_{1}.}$

Это уравнение можно также записать

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}$

за подчеркивание того, что наклон линии можно вычислить по координатам любых двух точек.

Прямая, которая не параллельна оси и не проходит через начало координат, пересекает оси в двух различных точках. Значения отсекаемых x ₀ и y ₀ этих двух точек не равны нулю, и уравнение прямой имеет вид ^[3]

${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.}$

(Легко проверить, что линия, определяемая этим уравнением, имеет x ₀ и y ₀ в качестве значений пересечения).

Даны две различные точки ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) , через них проходит ровно одна прямая. Существует несколько способов записать линейное уравнение этой прямой.

Если x ₁ ≠ x ₂ , то наклон прямой равен Таким образом, форма точечно-наклонной функции имеет вид ^[3]${\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).}$

Очищая знаменатели , получаем уравнение

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,}$

что справедливо также при x ₁ = x ₂ (для проверки этого достаточно убедиться, что две заданные точки удовлетворяют уравнению).

Эта форма не симметрична относительно двух заданных точек, но симметричную форму можно получить путем перегруппировки постоянных членов:

${\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$

(перестановка двух точек меняет знак левой части уравнения).

Двухточечная форма уравнения прямой может быть выражена просто через определитель . Для этого есть два распространенных способа.

Уравнение является результатом раскрытия определителя в уравнении${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.}$

Уравнение можно получить, разложив по его первой строке определитель в уравнении${\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Помимо того, что эта форма очень проста и мнемонична, она имеет то преимущество, что является частным случаем более общего уравнения гиперплоскости , проходящей через n точек в пространстве размерности n – 1. Эти уравнения опираются на условие линейной зависимости точек в проективном пространстве .

Линейное уравнение с более чем двумя переменными всегда можно считать имеющим вид

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.}$

Коэффициент b , часто обозначаемый как a ₀ , называется постоянным членом (иногда абсолютным членом в старых книгах ^{[4] [5]} ). В зависимости от контекста термин коэффициент может быть зарезервирован для a _i с i > 0 .

При работе с переменными обычно используют and вместо индексированных переменных.${\displaystyle n=3}$${\displaystyle x,\;y}$${\displaystyle z}$

Решением такого уравнения является n -кортеж, такой что замена каждого элемента кортежа на соответствующую переменную преобразует уравнение в истинное равенство.

Чтобы уравнение имело смысл, коэффициент хотя бы одной переменной должен быть ненулевым. Если каждая переменная имеет нулевой коэффициент, то, как упоминалось для одной переменной, уравнение либо несовместно (для b ≠ 0 ), поскольку не имеет решения, либо все n -кортежи являются решениями.

N -кортежи , являющиеся решениями линейного уравнения с n переменными, являются декартовыми координатами точек ( n − 1) -мерной гиперплоскости в n -мерном евклидовом пространстве (или аффинном пространстве, если коэффициенты являются комплексными числами или принадлежат любому полю). В случае трех переменных эта гиперплоскость является плоскостью .

_Если дано линейное уравнение с j ≠ 0 , то уравнение можно решить относительно x _j , получив

${\displaystyle x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.}$

Если коэффициенты являются действительными числами , это определяет действительную функцию n действительных переменных .

• Линейное уравнение над кольцом
• Алгебраическое уравнение
• Координаты линии
• Линейное неравенство
• Нелинейное уравнение

• Барнетт, РА; Зиглер, МР; Байлин, КЕ (2008), Математика для колледжей в бизнесе, экономике, науках о жизни и социальных науках (11-е изд.), Аппер Сэддл Ривер, Нью-Джерси: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт (2007), Precalculus:A Concise Course , Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Уилсон, WA; Трейси, JI (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренное издание), DC Heath

• «Линейное уравнение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]