Распределение Леви
Распределение вероятностей
Леви (без смещения)
Функция плотности вероятности
Распределение налога PDF
Кумулятивная функция распределения
Распределение налога CDF
Параметры μ {\displaystyle \мю} местоположение; масштаб с > 0 {\displaystyle с>0\,}
Поддерживать х ∈ ( μ , ∞ ) {\displaystyle x\in (\mu ,\infty )}
PDF с 2 π     е − с 2 ( х − μ ) ( х − μ ) 3 / 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {c}{2\pi}}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}
СДФ erfc ( с 2 ( х − μ ) ) {\displaystyle {\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}
Квантиль μ + σ 2 ( erfc − 1 ( п ) ) 2 {\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{2\left({\textrm {erfc}}^{-1}(p)\right)^{2}}}}
Иметь в виду ∞ {\displaystyle \infty}
Медиана μ + с / 2 ( erfc − 1 ( 1 / 2 ) ) 2 {\displaystyle \mu +c/2({\textrm {erfc}}^{-1}(1/2))^{2}\,}
Режим μ + с 3 {\displaystyle \mu +{\frac {c}{3}}}
Дисперсия ∞ {\displaystyle \infty}
Асимметриянеопределенный
Избыточный эксцесснеопределенный
Энтропия

1 + 3 γ + вн ⁡ ( 16 π с 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {1+3\gamma +\ln(16\pi c^{2})}{2}}}

где постоянная Эйлера -Маскерони γ {\displaystyle \гамма}
МГФнеопределенный
CF е я μ т − − 2 я с т {\displaystyle e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}}

В теории вероятностей и статистике распределение Леви , названное в честь Поля Леви , представляет собой непрерывное распределение вероятностей для неотрицательной случайной величины . В спектроскопии это распределение, с частотой в качестве зависимой переменной, известно как профиль Ван-дер-Ваальса . [примечание 1] Это особый случай обратного гамма-распределения . Это устойчивое распределение .

Определение

Функция плотности вероятности распределения Леви по области имеет вид х ≥ μ {\displaystyle x\geq \mu }

ф ( х ; μ , с ) = с 2 π е − с 2 ( х − μ ) ( х − μ ) 3 / 2 , {\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}},}

где - параметр местоположения , а - параметр масштаба . Кумулятивная функция распределения - это μ {\displaystyle \мю} с {\displaystyle с}

Ф ( х ; μ , с ) = erfc ⁡ ( с 2 ( х − μ ) ) = 2 − 2 Ф ( с ( х − μ ) ) , {\displaystyle F(x;\mu ,c)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right),}

где — дополнительная функция ошибок , а — функция Лапласа ( CDF стандартного нормального распределения ). Параметр сдвига имеет эффект смещения кривой вправо на величину и изменения поддержки на интервал [ ,  ). Как и все устойчивые распределения , распределение Леви имеет стандартную форму f ( x ; 0, 1), которая обладает следующим свойством: erfc ⁡ ( з ) {\displaystyle \operatorname {erfc} (z)} Ф ( х ) {\displaystyle \Фи (x)} μ {\displaystyle \мю} μ {\displaystyle \мю} μ {\displaystyle \мю} ∞ {\displaystyle \infty}

ф ( х ; μ , с ) г х = ф ( у ; 0 , 1 ) г у , {\displaystyle f(x;\mu ,c)\,dx=f(y;0,1)\,dy,}

где y определяется как

у = х − μ с . {\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}.}

Характеристическая функция распределения Леви определяется выражением

φ ( т ; μ , с ) = е я μ т − − 2 я с т . {\displaystyle \varphi (t;\mu,c)=e^{i\mu t- {\sqrt {-2ict}}}.}

Обратите внимание, что характеристическую функцию можно также записать в той же форме, которая используется для устойчивого распределения с и : α = 1 / 2 {\displaystyle \альфа =1/2} β = 1 {\displaystyle \бета =1}

φ ( т ; μ , с ) = е я μ т − | с т | 1 / 2 ( 1 − я знак ⁡ ( т ) ) . {\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}(1-i\operatorname {sign} (t))}.}

Предполагая , что n- й момент несмещенного распределения Леви формально определяется как μ = 0 {\displaystyle \мю =0}

м н   = определение   с 2 π ∫ 0 ∞ е − с / 2 х х н х 3 / 2 г х , {\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx,}

которое расходится для всех , так что целочисленные моменты распределения Леви не существуют (только некоторые дробные моменты). n ≥ 1 / 2 {\displaystyle n\geq 1/2}

Функция , генерирующая момент, формально определяется как

M ( t ; c )   = d e f   c 2 π ∫ 0 ∞ e − c / 2 x + t x x 3 / 2 d x , {\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx,}

Однако это расходится для и, следовательно, не определено на интервале около нуля, так что функция, генерирующая момент, фактически не определена. t > 0 {\displaystyle t>0}

Как и все устойчивые распределения, за исключением нормального распределения , крыло функции плотности вероятности демонстрирует тяжелое хвостовое поведение, спадающее по степенному закону:

f ( x ; μ , c ) ∼ c 2 π 1 x 3 / 2 {\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {1}{x^{3/2}}}} как x → ∞ , {\displaystyle x\to \infty ,}

что показывает, что распределение Леви не только имеет тяжелый хвост , но и толстый хвост . Это проиллюстрировано на диаграмме ниже, на которой функции плотности вероятности для различных значений c и нанесены на график в логарифмическом масштабе : μ = 0 {\displaystyle \mu =0}

Функция плотности вероятности для распределения Леви на графике в двойном логарифмическом масштабе

Стандартное распределение Леви удовлетворяет условию устойчивости :

( X 1 + X 2 + ⋯ + X n ) ∼ n 1 / α X , {\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X,}

где независимые стандартные переменные Леви с X 1 , X 2 , … , X n , X {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X} α = 1 / 2. {\displaystyle \alpha =1/2.}

  • Если , то X ∼ Levy ⁡ ( μ , c ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)} k X + b ∼ Levy ⁡ ( k μ + b , k c ) . {\displaystyle kX+b\sim \operatorname {Levy} (k\mu +b,kc).}
  • Если , то ( обратное гамма-распределение ). Здесь распределение Леви является частным случаем распределения Пирсона типа V. X ∼ Levy ⁡ ( 0 , c ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)} X ∼ I n v - G a m m a ⁡ ( 1 / 2 , c / 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Inv-Gamma} (1/2,c/2)}
  • Если ( нормальное распределение ), то Y ∼ Normal ⁡ ( μ , σ 2 ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})} ( Y − μ ) − 2 ∼ Levy ⁡ ( 0 , 1 / σ 2 ) . {\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,1/\sigma ^{2}).}
  • Если , то . X ∼ Normal ⁡ ( μ , 1 / σ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Normal} (\mu ,1/{\sqrt {\sigma }})} ( X − μ ) − 2 ∼ Levy ⁡ ( 0 , σ ) {\displaystyle (X-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,\sigma )}
  • Если , то ( устойчивое распределение ). X ∼ Levy ⁡ ( μ , c ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)} X ∼ Stable ⁡ ( 1 / 2 , 1 , c , μ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (1/2,1,c,\mu )}
  • Если , то ( масштабированное обратное распределение хи-квадрат ). X ∼ Levy ⁡ ( 0 , c ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)} X ∼ S c a l e - i n v - χ 2 ⁡ ( 1 , c ) {\displaystyle X\,\sim \,\operatorname {Scale-inv-\chi ^{2}} (1,c)}
  • Если , то ( сложенное нормальное распределение ). X ∼ Levy ⁡ ( μ , c ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)} ( X − μ ) − 1 / 2 ∼ FoldedNormal ⁡ ( 0 , 1 / c ) {\displaystyle (X-\mu )^{-1/2}\sim \operatorname {FoldedNormal} (0,1/{\sqrt {c}})}

Генерация случайной выборки

Случайные выборки из распределения Леви могут быть сгенерированы с помощью обратного преобразования выборки . При наличии случайной переменной U, взятой из равномерного распределения на единичном интервале (0, 1], переменная X задается формулой [1]

X = F − 1 ( U ) = c ( Φ − 1 ( 1 − U / 2 ) ) 2 + μ {\displaystyle X=F^{-1}(U)={\frac {c}{(\Phi ^{-1}(1-U/2))^{2}}}+\mu }

распределено по Леви с местоположением и масштабом . Вот кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения . μ {\displaystyle \mu } c {\displaystyle c} Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)}

Приложения

Сноски

  1. ^ «Профиль Ван-дер-Ваальса» появляется со строчной буквой «ван» почти во всех источниках, таких как: Статистическая механика поверхности жидкости Клайва Энтони Крокстона, 1980, публикация Wiley-Interscience, ISBN  0-471-27663-4 , ISBN 978-0-471-27663-0 , [1]; и в Журнале технической физики , том 36, Instytut Podstawowych Issueów Techniki (Polska Akademia Nauk), издательство: Państwowe Wydawn. Наукове., 1995, [2] 

Примечания

  1. ^ "Распределение Леви". Случайное. Вероятность, Математическая статистика, Стохастические процессы . Университет Алабамы в Хантсвилле, Кафедра математических наук. Архивировано из оригинала 2017-08-02.
  2. ^ Роджерс, Джеффри Л. (2008). «Анализ множественных путей отражения от мутных сред». Журнал Оптического общества Америки A. 25 ( 11): 2879–2883. Bibcode : 2008JOSAA..25.2879R. doi : 10.1364/josaa.25.002879. PMID  18978870.
  3. ^ Эпплбаум, Д. «Лекции по процессам Леви и стохастическому исчислению, Брауншвейг; Лекция 2: Процессы Леви» (PDF) . Университет Шеффилда. С. 37–53.

Ссылки

  • "Информация о стабильных дистрибутивах" . Получено 5 сентября 2021 г. .- Введение Джона П. Нолана в устойчивые распределения, некоторые статьи по устойчивым законам и бесплатная программа для вычисления устойчивых плотностей, кумулятивных функций распределения, квантилей, параметров оценки и т. д. См. особенно Введение в устойчивые распределения, Глава 1
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lévy_distribution&oldid=1218959060"