Бегемот

В геометрии гиппопе́д (от др.-греч. ἱπποπέδη (hippopédē)  «конские оковы ») — плоская кривая, определяемая уравнением вида

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2},}$

где предполагается, что c > 0 и c > d, поскольку остальные случаи либо сводятся к одной точке, либо могут быть приведены к заданной форме с помощью поворота. Гиппопеды являются бикруговыми , рациональными , алгебраическими кривыми степени 4 и симметричны относительно обеих осей x и y .

При d > 0 кривая имеет овальную форму и часто известна как овал Бута , а при d < 0 кривая напоминает перевернутую набок восьмерку, или лемнискату , и часто известна как лемниската Бута , в честь математика 19-го века Джеймса Бута, который их изучал. Гиппопеды также исследовались Проклом (в честь которого их иногда называют Гиппопеды Прокла ) и Евдоксом . При d = − c гиппопеда соответствует лемнискате Бернулли .

Гиппопедес можно определить как кривую, образованную пересечением тора и плоскости, где плоскость параллельна оси тора и касается ее на внутренней окружности. Таким образом, это спиральное сечение , которое в свою очередь является типом торического сечения .

Если окружность радиусом a вращать вокруг оси на расстоянии b от ее центра, то уравнение получившегося бегемота в полярных координатах

${\displaystyle r^{2}=4b (ab\sin ^{2}\!\theta)}$

или в декартовых координатах

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+4b(ba)(x^{2}+y^{2})=4b^{2}x^{2}}$.

Обратите внимание, что когда a > b, тор пересекает сам себя, поэтому он не похож на обычную картину тора.

• Список кривых

• Лоуренс Дж. Д. (1972) Каталог специальных плоских кривых , Dover Publications. С. 145–146.
• Бут Дж. Трактат о некоторых новых геометрических методах , Лонгманс, Грин, Ридер и Дайер, Лондон, т. I (1873) и т. II (1877).
• Вайсштейн, Эрик В. «Гиппопед». MathWorld .
• «Гиппопед» на 2dcurves.com
• "Курб де Бут" в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

• «Гиппопед Прокла» в National Curve Bank