Ядро (линейная алгебра)

В математике ядро ​​линейного отображения , также известное как нулевое пространство или нулевое пространство , представляет собой часть области , которая отображается в нулевой вектор со-области; ядро ​​всегда является линейным подпространством области. ^[1] То есть, если задано линейное отображение L  : V → W между двумя векторными пространствами V и W , ядро ​​L представляет собой векторное пространство всех элементов v из V, таких что L ( v ) = 0 , где 0 обозначает нулевой вектор в W , ^[2] или более символически: $${\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\mathbf {0} ).}$$

Ядро L является линейным подпространством области V. ^{[3] [2]} В линейном отображении два элемента V имеют один и тот же образ в W тогда и только тогда , когда их разность лежит в ядре L , то есть,${\displaystyle L:V\to W,}$$${\displaystyle L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad {\text{ тогда и только тогда, когда }}\quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .}$$

Из этого по первой теореме об изоморфизме следует , что образ L изоморфен фактору V по ядру:$${\displaystyle \operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).}$$В случае, когда V конечномерно , это подразумевает теорему о ранге–ничтожности : где член$${\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).}$$ранг относится к размеру изображенияL,тогда как${\displaystyle \dim(\operatorname {im} L),}$Недействительность относится к размерности ядраL,^[4] То есть, так что теорему о ранге–недействительности можно переформулировать как ${\displaystyle \dim(\ker L).}$$${\displaystyle \operatorname {Ранг} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ и }}\qquad \operatorname {Нульсеность} (L)=\dim(\ker L),}$$$${\displaystyle \operatorname {Ранг} (L)+\operatorname {Нульсеность} (L)=\dim \left(\operatorname {домен} L\right).}$$

Когда V — пространство внутреннего произведения , частное можно отождествить с ортогональным дополнением в V для . Это обобщение на линейные операторы пространства строк или кообраза матрицы.${\displaystyle V/\ker(L)}$${\displaystyle \ker(L)}$

Понятие ядра также имеет смысл для гомоморфизмов модулей , которые являются обобщениями векторных пространств, где скаляры являются элементами кольца , а не поля . Областью отображения является модуль, а ядро ​​составляет подмодуль . Здесь понятия ранга и недействительности не обязательно применимы .

Если V и W — топологические векторные пространства , причем W конечномерно, то линейный оператор L : V → W непрерывен тогда и только тогда, когда ядро ​​L является замкнутым подпространством V .

Рассмотрим линейное отображение, представленное как матрица A размером m × n с коэффициентами в поле K (обычно или ), которое работает с векторами-столбцами x с n компонентами над K . Ядро этого линейного отображения является множеством решений уравнения A x = 0 , где 0 понимается как нулевой вектор . Размерность ядра A называется нулевым значением A . В нотации set-builder матричное уравнение эквивалентно однородной системе линейных уравнений : Таким образом, ядро ​​A совпадает с множеством решений для приведенных выше однородных уравнений. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle \operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}$$$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}$$

Ядро матрицы A ^{размера} m × n над полем K является линейным подпространством K n . То есть ядро ​​A , множество Null( A ) , обладает следующими тремя свойствами:

1. Null( A ) всегда содержит нулевой вектор , так как A 0 = 0 .
2. Если x ∈ Null( A ) и y ∈ Null( A ) , то x + y ∈ Null( A ) . Это следует из дистрибутивности умножения матриц относительно сложения.
3. Если x ∈ Null( A ) и c — скаляр c ∈ K , то c x ∈ Null( A ) , поскольку A ( c x ) = c ( A x ) = c 0 = 0 .

Произведение A x можно записать через скалярное произведение векторов следующим образом:$${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.}$$

Здесь a ₁ , ... , a _m обозначают строки матрицы A . Отсюда следует, что x принадлежит ядру матрицы A , если и только если x ортогонален (или перпендикулярен) каждому из векторов-строк матрицы A (поскольку ортогональность определяется как скалярное произведение, равное 0) .

Пространство строк , или кообраз, матрицы A — это диапазон векторов строк матрицы A. По приведенным выше рассуждениям ядро ​​матрицы A является ортогональным дополнением к пространству строк. То есть вектор x лежит в ядре матрицы A , если и только если он перпендикулярен каждому вектору в пространстве строк матрицы A.

Размерность пространства строк A называется рангом A , а размерность ядра A называется нуллизмом A. Эти величины связаны теоремой о ранге–нуллизме [ 4 ^]$${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.}$$

Левое нулевое пространство , или коядро , матрицы A состоит из всех векторов-столбцов x таких, что x ^T A = 0 ^T , где T обозначает транспонирование матрицы. Левое нулевое пространство матрицы A совпадает с ядром матрицы A ^T . Левое нулевое пространство матрицы A является ортогональным дополнением к пространству столбцов матрицы A и является двойственным к коядру соответствующего линейного преобразования. Ядро, пространство строк, пространство столбцов и левое нулевое пространство матрицы A являются четырьмя фундаментальными подпространствами, связанными с матрицей A .

Ядро также играет роль в решении неоднородной системы линейных уравнений: если u и v — два возможных решения приведенного выше уравнения, то Таким образом, разность любых двух решений уравнения A x = b лежит в ядре A.$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} }$$

Отсюда следует, что любое решение уравнения A x = b может быть выражено как сумма фиксированного решения v и произвольного элемента ядра. То есть, набор решений для уравнения A x = b равен Геометрически это говорит о том, что набор решений для A x = b является переносом ядра A на вектор v . См. также альтернативу Фредгольма и плоский (геометрия) .$${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},}$$

Ниже приведена простая иллюстрация вычисления ядра матрицы (см. § Вычисление методом исключения Гаусса ниже для методов, лучше подходящих для более сложных вычислений). Иллюстрация также затрагивает пространство строк и его связь с ядром.

Рассмотрим матрицу Ядро этой матрицы состоит из всех векторов ( x , y , z ) ∈ R3 ^, для которых которую можно выразить в виде однородной системы линейных уравнений, содержащих x , y и z :$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}}$$

Те же линейные уравнения можно записать в матричной форме следующим образом:$${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}$$

С помощью метода исключения Гаусса-Жордана матрицу можно свести к виду:$${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}$$

Переписывая матрицу в виде уравнения, получаем:$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}}$$

Элементы ядра могут быть далее выражены в параметрической векторной форме следующим образом:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )}$$

Поскольку c — свободная переменная, пробегающая все действительные числа, это можно выразить так: Ядро A — это в точности набор решений этих уравнений (в данном случае линия, проходящая через начало координат в R ³ ). Здесь, поскольку вектор (−1,−26,16) ^T составляет базис ядра A . Нулевое значение A равно 1.$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}$$

Следующие скалярные произведения равны нулю: что иллюстрирует, что векторы в ядре A ортогональны каждому из векторов- строк A.$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,}$$

Эти два (линейно независимых) вектора-строки охватывают пространство строк матрицы A — плоскость, ортогональную вектору (−1,−26,16) ^T .

При ранге 2 матрицы A , нулевом значении 1 матрицы A и размерности 3 матрицы A мы имеем иллюстрацию теоремы о ранге-нульном значении.

• Если L : R ^m → R ⁿ , то ядро ​​L является множеством решений однородной системы линейных уравнений . Как и на приведенной выше иллюстрации, если L является оператором: то ядро ​​L является множеством решений уравнений$${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}$$
• Пусть C [0,1] обозначает векторное пространство всех непрерывных действительных функций на интервале [0,1] и определим L : C [0,1] → R по правилу Тогда ядро ​​L состоит из всех функций f ∈ C [0,1], для которых f (0,3) = 0 .$${\displaystyle L(f)=f(0.3).}$$
• Пусть C ^∞ ( R ) — векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций R → R , а D : C ^∞ ( R ) → C ^∞ ( R ) — оператор дифференцирования : Тогда ядро ​​D состоит из всех функций из C ^∞ ( R ), производные которых равны нулю, т.е. множества всех постоянных функций .$${\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}.}$$
• Пусть R ^∞ — прямое произведение бесконечного числа копий R , и пусть s : R ^∞ → R ^∞ — оператор сдвига. Тогда ядро ​​s — это одномерное подпространство, состоящее из всех векторов ( x ₁ , 0, 0, 0, ...) .$${\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).}$$
• Если V — пространство скалярного произведения , а W — подпространство, то ядро ​​ортогональной проекции V → W является ортогональным дополнением к W в V .

Базис ядра матрицы можно вычислить методом исключения Гаусса .

Для этой цели, имея матрицу A размером m × n , мы сначала строим расширенную матрицу строк , где I — единичная матрица размером n × n . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},}$

Вычисляя ее ступенчатую форму столбцов методом исключения Гаусса (или любым другим подходящим методом), мы получаем матрицу A , базис ядра которой состоит из ненулевых столбцов C, таких, что соответствующий столбец B является нулевым столбцом .${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.}$

Фактически, вычисление можно остановить, как только верхняя матрица окажется в ступенчатой ​​форме столбцов: оставшаяся часть вычисления заключается в изменении базиса векторного пространства, генерируемого столбцами, верхняя часть которых равна нулю.

Например, предположим, что Тогда$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

Приведение верхней части к столбцовой ступенчатой ​​форме с помощью операций над столбцами на всей матрице дает$${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

Последние три столбца матрицы B являются нулевыми столбцами. Следовательно, три последних вектора матрицы C являются базисом ядра матрицы A.$${\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]}$$

Доказательство того, что метод вычисляет ядро: Поскольку операции столбцов соответствуют пост-умножению на обратимые матрицы, тот факт, что сводится к означает, что существует обратимая матрица такая, что с в ступенчатой ​​форме столбцов. Таким образом , , и . Вектор-столбец принадлежит ядру (то есть ) тогда и только тогда, когда , где . Как и в ступенчатой ​​форме столбцов, , тогда и только тогда, когда ненулевые элементы соответствуют нулевым столбцам . Умножая на , можно вывести, что это так, если и только тогда, когда является линейной комбинацией соответствующих столбцов .${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AP=B}$ ${\displaystyle IP=C}$${\displaystyle AC=B}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$${\displaystyle \mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {v} =C\mathbf {w} }$${\displaystyle C}$

Проблема вычисления ядра на компьютере зависит от характера коэффициентов.

Если коэффициенты матрицы — это точно заданные числа, то ступенчатая форма столбцов матрицы может быть вычислена с помощью алгоритма Барейса более эффективно, чем с помощью исключения Гаусса. Еще более эффективно использовать модульную арифметику и китайскую теорему об остатках , что сводит задачу к нескольким аналогичным задачам над конечными полями (это позволяет избежать накладных расходов, вызванных нелинейностью вычислительной сложности целочисленного умножения). ^{[ необходима цитата ]}

Для коэффициентов в конечном поле метод исключения Гаусса работает хорошо, но для больших матриц, которые встречаются в криптографии и вычислениях на основе базиса Грёбнера , известны лучшие алгоритмы, которые имеют примерно такую ​​же вычислительную сложность , но работают быстрее и лучше работают с современным компьютерным оборудованием . ^{[ требуется ссылка ]}

Для матриц, элементы которых являются числами с плавающей точкой , проблема вычисления ядра имеет смысл только для матриц, таких, что число строк равно их рангу: из-за ошибок округления матрица с плавающей точкой почти всегда имеет полный ранг , даже когда она является приближением матрицы гораздо меньшего ранга. Даже для матрицы полного ранга можно вычислить ее ядро, только если она хорошо обусловлена , т. е. имеет низкое число обусловленности . ^{[5] [ необходима цитата ]}

Даже для хорошо обусловленной матрицы полного ранга гауссовское исключение ведет себя некорректно: оно вносит ошибки округления, которые слишком велики для получения значимого результата. Поскольку вычисление ядра матрицы является частным случаем решения однородной системы линейных уравнений, ядро ​​может быть вычислено с помощью любого из различных алгоритмов, разработанных для решения однородных систем. Современным программным обеспечением для этой цели является библиотека Lapack . ^{[ необходима цитата ]}

В Wikibooks есть книга по теме: Линейная алгебра/Нуль-пространства

• «Ядро матрицы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Khan Academy , Введение в нулевое пространство матрицы