Общее отношение
Тип логического отношения

В математике бинарное отношение R ⊆ X × Y между двумя множествами X и Y является полным (или левым полным ), если исходное множество X равно области { x  : существует y с xRy }. Наоборот, R называется правым полным , если Y равно диапазону { y  : существует x с xRy }.

Когда f : X → Y является функцией , область определения f — это все X , следовательно, f — полное отношение. С другой стороны, если f — частичная функция , то область определения может быть собственным подмножеством X , и в этом случае f не является полным отношением.

«Двоичное отношение считается полным по отношению к универсуму дискурса только в том случае, если все в этом универсуме дискурса находится в этом отношении к чему-то еще» [1] .

Алгебраическая характеристика

Все отношения можно охарактеризовать алгебраически с помощью равенств и неравенств, включающих композиции отношений . Для этого пусть будут два множества, и пусть Для любых двух множеств пусть будет универсальное отношение между и и пусть будет отношение тождества на Мы используем обозначение для обратного отношения Х , И {\displaystyle X,Y} Р ⊆ Х × И . {\displaystyle R\subseteq X\times Y.} А , Б , {\displaystyle А,Б,} Л А , Б = А × Б {\displaystyle L_{A,B}=A\times B} А {\displaystyle А} Б , {\displaystyle Б,} я А = { ( а , а ) : а ∈ А } {\displaystyle I_{A}=\{(a,a):a\in A\}} А . {\displaystyle А.} Р ⊤ {\displaystyle R^{\top}} Р . {\displaystyle Р.}

  • Р {\displaystyle R} является полным тогда и только тогда, когда для любого множества и любого подразумевается [2] : 54  Вт {\displaystyle W} С ⊆ Вт × Х , {\displaystyle S\subseteq W\times X,} С ≠ ∅ {\displaystyle S\neq \emptyset } С Р ≠ ∅ . {\displaystyle SR\neq \emptyset .}
  • Р {\displaystyle R} является полным, если и только если [2] : 54  я Х ⊆ Р Р ⊤ . {\displaystyle I_{X}\subseteq RR^{\top }.}
  • Если является полным, то Обратное верно, если [примечание 1] Р {\displaystyle R} Л Х , И = Р Л И , И . {\displaystyle L_{X,Y}=RL_{Y,Y}.} И ≠ ∅ . {\displaystyle Y\neq \emptyset .}
  • Если является полным, то Обратное верно, если [примечание 2] [2] : 63  Р {\displaystyle R} Р Л И , И ¯ = ∅ . {\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset .} И ≠ ∅ . {\displaystyle Y\neq \emptyset .}
  • Если — общее, то Обратное верно, если [2] : 54  [3] Р {\displaystyle R} Р ¯ ⊆ Р я И ¯ . {\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R{\overline {I_{Y}}}.} И ≠ ∅ . {\displaystyle Y\neq \emptyset .}
  • В более общем смысле, если является тотальным, то для любого множества и любого Обратное верно, если [примечание 3] [2] : 57  Р {\displaystyle R} З {\displaystyle Z} С ⊆ И × З , {\displaystyle S\subseteq Y\times Z,} Р С ¯ ⊆ Р С ¯ . {\displaystyle {\overline {RS}}\subseteq R{\overline {S}}.} И ≠ ∅ . {\displaystyle Y\neq \emptyset .}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Если тогда не будет тотала. И = ∅ ≠ Х , {\displaystyle Y=\emptyset \neq X,} Р {\displaystyle R}
  2. ^ Соблюдайте и применяйте предыдущий пункт. Р Л И , И ¯ = ∅ ⇔ Р Л И , И = Л Х , И , {\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset \Leftrightarrow RL_{Y,Y}=L_{X,Y},}
  3. ^ Взять и апеллировать к предыдущему пункту. З = И , С = я И {\displaystyle Z=Y,S=I_{Y}}

Ссылки

  1. ^ Функции из Университета Карнеги-Меллона
  2. ^ abcde Шмидт, Гюнтер ; Штрёляйн, Томас (6 декабря 2012 г.). Отношения и графы: Дискретная математика для компьютерных ученых. Springer Science & Business Media . ISBN 978-3-642-77968-8.
  3. ^ Гюнтер Шмидт (2011). Реляционная математика . Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511778810. ISBN 9780511778810.Определение 5.8, стр. 57.
  • Гюнтер Шмидт и Михаэль Винтер (2018) Реляционная топология
  • C. Brink, W. Kahl и G. Schmidt (1997) Реляционные методы в информатике , Достижения в информатике, стр. 5, ISBN 3-211-82971-7 
  • Гюнтер Шмидт и Томас Штролейн (2012)[1987] Отношения и графики , стр. 54, в Google Books
  • Гюнтер Шмидт (2011) Реляционная математика , стр. 57, в Google Books
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Total_relation&oldid=1204646531"