Теорема о монотонной сходимости

Эта статья может потребовать очистки для соответствия стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: необходимо пересмотреть организацию этой статьи. Теоремы и их доказательства размещены в разных разделах, и для некоторых доказательств неясно, с каким результатом они связаны. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , если можете. ( Сентябрь 2024 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математической области вещественного анализа теорема о монотонной сходимости — это любая из ряда связанных теорем, доказывающих хорошее поведение сходимости монотонных последовательностей , т. е. последовательностей, которые не возрастают или не убывающие . В своей простейшей форме она гласит, что неубывающая ограниченная сверху последовательность действительных чисел сходится к своей наименьшей верхней границе, своему супремуму . Аналогично, невозрастающая ограниченная снизу последовательность сходится к своей наибольшей нижней границе, своему инфимуму . В частности, бесконечные суммы неотрицательных чисел сходятся к супремуму частичных сумм тогда и только тогда, когда частичные суммы ограничены.${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq K}$

Для сумм неотрицательных возрастающих последовательностей это означает, что взятие суммы и супремума можно поменять местами.${\displaystyle 0\leq a_{i,1}\leq a_{i,2}\leq \cdots }$

В более продвинутой математике теорема о монотонной сходимости обычно относится к фундаментальному результату в теории меры, принадлежащему Лебегу и Беппо Леви , который гласит, что для последовательностей неотрицательных измеримых функций , возрастающих по точкам, взятие интеграла и супремума можно поменять местами, при этом результат будет конечным, если хотя бы один из них конечен.${\displaystyle 0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots }$

Любая ограниченная сверху монотонно неубывающая последовательность действительных чисел сходится по действительным числам, поскольку супремум существует и является действительным числом. Предложение не применимо к рациональным числам, поскольку супремум последовательности рациональных чисел может быть иррациональным.

(A) Для неубывающей и ограниченной сверху последовательности действительных чисел

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq K<\infty ,}$

предел существует и равен своему супремуму :${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n}a_{n}\leq K.}$

(B) Для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности действительных чисел

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq L>-\infty,}$

предел существует и равен своему инфимуму :${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n}a_{n}\geq L}$.

Пусть будет множеством значений . По предположению, непусто и ограничено сверху . По свойству наименьшей верхней границы действительных чисел существует и . Теперь для каждого существует такое, что , так как в противном случае является строго меньшей верхней границей , что противоречит определению супремума . Тогда, поскольку не убывает, и является верхней границей, для каждого , имеем ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle K}$${\textstyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}}$${\displaystyle c\leq K}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle c\geq a_{N}>c-\varepsilon }$${\displaystyle c-\varepsilon }$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle |c-a_{n}|=c-a_{n}\leq c-a_{N}=|c-a_{N}|<\varepsilon .}$

Отсюда, по определению .${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=c=\sup _{n}a_{n}}$

Доказательство части (Б) аналогично или следует из (А) путем рассмотрения .${\displaystyle \{-a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

Если — монотонная последовательность действительных чисел , т.е. если для каждого или для каждого , то эта последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда последовательность ограничена . ^[1]${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$${\displaystyle n\geq 1}$

• Направление «Если»: Доказательство следует непосредственно из предложения.
• Направление «Только если»: По (ε, δ)-определению предела каждая последовательность с конечным пределом обязательно ограничена.${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle L}$

Существует вариант предложения выше, в котором мы допускаем неограниченные последовательности в расширенных действительных числах, действительных числах с и добавленными. ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$

В расширенных действительных числах каждый набор имеет супремум (соотв. инфимум ), который, конечно, может быть (соотв. ), если набор неограничен. Важное применение расширенных действительных чисел заключается в том, что любой набор неотрицательных чисел имеет хорошо определенный порядок суммирования, независимый от суммы ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle a_{i}\geq 0,i\in I}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{J\subset I,\ |J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$

где верхние расширенные неотрицательные действительные числа. Для ряда неотрицательных чисел ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}=[0,\infty ]\subset {\bar {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{J\subset \mathbb {N} ,|J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}=\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i},}$

так что эта сумма совпадает с суммой ряда, если оба определены. В частности, сумма ряда неотрицательных чисел не зависит от порядка суммирования.

Пусть — последовательность неотрицательных действительных чисел, индексированных натуральными числами и . Предположим, что для всех . Тогда ^{[2] : 168}${\displaystyle a_{i,k}\geq 0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{i,k}\leq a_{i,k+1}}$${\displaystyle i,k}$

${\displaystyle \sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}=\sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}.}$

Так как у нас так .${\displaystyle a_{i,k}\leq \sup _{k}a_{i,k}}$${\displaystyle \sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$${\displaystyle \sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$

И наоборот, мы можем поменять местами sup и sum для конечных сумм, вернувшись к предельному определению, и, следовательно , .${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sup _{k}a_{i,k}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{N}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$

Теорема утверждает, что если у вас есть бесконечная матрица неотрицательных действительных чисел, такая, что строки слабо возрастают и каждая из них ограничена, где границы суммируемы , то для каждого столбца неубывающие суммы столбцов ограничены, следовательно, сходятся, а предел сумм столбцов равен сумме «предельного столбца», которая поэлементно является супремумом по строке.${\displaystyle a_{i,k}\geq 0}$${\displaystyle a_{i,k}\leq K_{i}}$${\displaystyle \sum _{i}K_{i}<\infty }$${\displaystyle \sum _{i}a_{i,k}\leq \sum K_{i}}$${\displaystyle \sup _{k}a_{i,k}}$

Рассмотрим расширение

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {1}{k^{i}}}}$

Теперь установлено

${\displaystyle a_{i,k}={\binom {k}{i}}{\frac {1}{k^{i}}}={\frac {1}{i!}}\cdot {\frac {k}{k}}\cdot {\frac {k-1}{k}}\cdot \cdots {\frac {k-i+1}{k}}.}$

для и для , затем с и ${\displaystyle i\leq k}$${\displaystyle a_{i,k}=0}$${\displaystyle i>k}$${\displaystyle 0\leq a_{i,k}\leq a_{i,k+1}}$${\displaystyle \sup _{k}a_{i,k}={\frac {1}{i!}}<\infty }$

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i,k}}$.

Правая часть представляет собой неубывающую последовательность по , поэтому${\displaystyle k}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sup _{k}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i,k}=\sum _{i=0}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}=e}$.

Следующий результат является обобщением теоремы о монотонной сходимости неотрицательных сумм, приведенной выше, на случай теории меры. Это краеугольный камень теории меры и интегрирования со многими приложениями, и имеет лемму Фату и теорему о доминируемой сходимости как прямое следствие. Это принадлежит Беппо Леви , который доказал небольшое обобщение в 1906 году более раннего результата Анри Лебега . ^{[3] [4]}

Пусть обозначает -алгебру борелевских множеств на верхних расширенных неотрицательных действительных числах . По определению содержит множество и все борелевские подмножества${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle [0,+\infty ]}$${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}}$${\displaystyle \{+\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}.}$

Пусть будет пространством меры , и измеримым множеством. Пусть будет поточечно неубывающей последовательностью - измеримых неотрицательных функций, т.е. каждая функция является -измеримой и для любого и любого ,${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle X\in \Sigma }$${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$${\displaystyle {k\geq 1}}$${\displaystyle {x\in X}}$

${\displaystyle 0\leq \ldots \leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\leq \ldots \leq \infty .}$

Тогда поточечный супремум

${\displaystyle \sup _{k}f_{k}:x\mapsto \sup _{k}f_{k}(x)}$

является измеримой функцией и${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$

${\displaystyle \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}\sup _{k}f_{k}\,d\mu .}$

Замечание 1. Интегралы и супремумы могут быть конечными или бесконечными, но левая часть конечна тогда и только тогда, когда конечна правая часть.

Замечание 2. В условиях теоремы

Заметим, что вторая цепочка равенств следует из монотонности интеграла (лемма 2 ниже). Таким образом, мы можем также записать заключение теоремы в виде

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}(x)\,d\mu (x)=\int _{X}\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)\,d\mu (x)}$

с молчаливым пониманием того, что пределы могут быть бесконечными.

Замечание 3. Теорема остается верной, если ее предположения выполняются -почти всюду. Другими словами, достаточно, чтобы существовало нулевое множество , такое, что последовательность не убывает для каждого Чтобы увидеть, почему это верно, начнем с наблюдения, что разрешение последовательности точечно не убывать почти всюду приводит к тому, что ее точечный предел становится неопределенным на некотором нулевом множестве . На этом нулевом множестве может быть тогда определено произвольно, например, как ноль, или любым другим способом, который сохраняет измеримость. Чтобы увидеть, почему это не повлияет на результат теоремы, отметим, что поскольку у нас есть, для каждого${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$${\displaystyle {x\in X\setminus N}.}$${\displaystyle \{f_{n}\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mu (N)=0},}$${\displaystyle k,}$

${\displaystyle \int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu }$и${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,}$

при условии, что является -измеримым. ^{[5] : раздел 21.38} (Эти равенства непосредственно следуют из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции).${\displaystyle f}$${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$

Замечание 4. Приведенное ниже доказательство не использует никаких свойств интеграла Лебега, кроме установленных здесь. Таким образом, теорема может быть использована для доказательства других основных свойств, таких как линейность, относящихся к интегрированию Лебега.

Это доказательство не опирается на лемму Фату ; однако мы объясняем, как можно использовать эту лемму. Те, кто не заинтересован в этой независимости доказательства, могут пропустить промежуточные результаты ниже.

Нам нужны три основные леммы. В доказательстве ниже мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега только к неотрицательным функциям. А именно (см. замечание 4),

Лемма 1. Пусть функции -измеримы .${\displaystyle f,g:X\to [0,+\infty ]}$${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$

• Если везде на то${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$

• Если и тогда${\displaystyle X_{1},X_{2}\in \Sigma }$${\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2},}$

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Доказательство. Обозначим через множество простых -измеримых функций таких, что всюду на${\displaystyle \operatorname {SF} (h)}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$${\displaystyle 0\leq s\leq h}$${\displaystyle X.}$

1. Так как мы имеем , следовательно,${\displaystyle f\leq g,}$${\displaystyle \operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g),}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .}$

2. Функции , где — индикаторная функция , легко видеть, что они измеримы и . Теперь применим 1 .${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}},f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{2}},}$${\displaystyle {\mathbf {1} }_{X_{i}}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{2}}}$

Лемма 2. Пусть — измеримое пространство. Рассмотрим простую — измеримую неотрицательную функцию . Для измеримого подмножества определим${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$${\displaystyle s:\Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}}$${\displaystyle S\in \Sigma }$

${\displaystyle \nu _{s}(S)=\int _{S}s\,d\mu .}$

Затем следует мера .${\displaystyle \nu _{s}}$${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$

Напишите с и измеримыми множествами . Тогда ${\displaystyle s=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{k}},}$${\displaystyle c_{k}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$${\displaystyle A_{k}\in \Sigma }$

${\displaystyle \nu _{s}(S)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\mu (S\cap A_{k}).}$

Поскольку конечные положительные линейные комбинации счетно-аддитивных функций множеств являются счетно-аддитивными, для доказательства счетной аддитивности достаточно доказать, что функция множеств, определенная с помощью , является счетно-аддитивной для всех . Но это следует непосредственно из счетной аддитивности .${\displaystyle \nu _{s}}$${\displaystyle \nu _{A}(S)=\mu (A\cap S)}$${\displaystyle A\in \Sigma }$${\displaystyle \mu }$

Лемма 3. Пусть — мера, причем , где${\displaystyle \mu }$${\displaystyle S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$

${\displaystyle S_{1}\subseteq \cdots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \cdots \subseteq S}$

- неубывающая цепь, все множества которой -измеримы. Тогда${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (S)=\sup _{i}\mu (S_{i}).}$

Зададим , то разложим в счетное дизъюнктное объединение измеримых множеств и аналогично в конечное дизъюнктное объединение. Следовательно , ​​и поэтому .${\displaystyle S_{0}=\emptyset }$${\displaystyle S=\coprod _{1\leq i}S_{i}\setminus S_{i-1}}$${\displaystyle S_{k}=\coprod _{1\leq i\leq k}S_{i}\setminus S_{i-1}}$${\displaystyle \mu (S_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (S_{i}\setminus S_{i-1})}$${\displaystyle \mu (S)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (S_{i}\setminus S_{i-1})}$${\displaystyle \mu (S)=\sup _{k}\mu (S_{k})}$

Набор . Обозначим через множество простых -измеримых функций таких, что на .${\displaystyle f=\sup _{k}f_{k}}$${\displaystyle \operatorname {SF} (f)}$${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$${\displaystyle 0\leq s\leq f}$${\displaystyle X}$

Шаг 1. Функция измерима , а интеграл хорошо определен (хотя, возможно, бесконечен) ^{[5] : раздел 21.3}${\displaystyle f}$${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$${\displaystyle \textstyle \int _{X}f\,d\mu }$

Из получаем . Следовательно, нам нужно показать, что является -измеримым. Чтобы увидеть это, достаточно доказать, что является -измеримым для всех , поскольку интервалы порождают алгебру сигма Бореля на расширенных неотрицательных действительных числах путем дополнения и взятия счетных пересечений, дополнений и счетных объединений.${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq \infty }$${\displaystyle 0\leq f(x)\leq \infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$${\displaystyle f^{-1}([0,t])}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle 0\leq t\leq \infty }$${\displaystyle [0,t]}$${\displaystyle [0,\infty ]}$

Теперь, поскольку является неубывающей последовательностью, тогда и только тогда, когда для всех . Поскольку мы уже знаем, что и заключаем, что${\displaystyle f_{k}(x)}$${\displaystyle f(x)=\sup _{k}f_{k}(x)\leq t}$${\displaystyle f_{k}(x)\leq t}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle f_{k}\geq 0}$

${\displaystyle f^{-1}([0,t])=\bigcap _{k}f_{k}^{-1}([0,t]).}$

Следовательно, является измеримым множеством, являющимся счетным пересечением измеримых множеств .${\displaystyle f^{-1}([0,t])}$${\displaystyle f_{k}^{-1}([0,t])}$

Поскольку интеграл хорошо определен (но, возможно, бесконечен), как ${\displaystyle f\geq 0}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in SF(f)}\int _{X}s\,d\mu }$.

Шаг 2. Имеем неравенство

${\displaystyle \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu }$

Это эквивалентно тому, что для всех что непосредственно следует из и «монотонности интеграла» (лемма 1).${\displaystyle \int _{X}f_{k}(x)\,d\mu \leq \int _{X}f(x)\,d\mu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle f_{k}(x)\leq f(x)}$

шаг 3 Имеем обратное неравенство

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$.

По определению интеграла как супремума шаг 3 эквивалентен

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$

для каждого . Возникает соблазн доказать для достаточно большого , но это не работает, например, если само по себе простое и . Однако мы можем получить себе "эпсилон пространства" для маневра и избежать этой проблемы. Шаг 3 также эквивалентен ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu }$${\displaystyle k>K_{s}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{k}<f}$

${\displaystyle (1-\varepsilon )\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$

для каждой простой функции и везде , где для равенства мы использовали, что левая часть неравенства есть конечная сумма. Это мы докажем.${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$

Дано и , определить${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$

${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }=\{x\in X\mid (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)\}\subseteq X.}$

Мы утверждаем, что множества обладают следующими свойствами: ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$

1. ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$-измеримо .${\displaystyle \Sigma }$
2. ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }\subseteq B_{k+1}^{s,\varepsilon }}$
3. ${\displaystyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,\varepsilon }}$

Принимая это утверждение, по определению и «монотонности интеграла Лебега» (лемма 1) имеем${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$

${\displaystyle \int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Отсюда по «интегралу Лебега простой функции как меры» (лемма 2) и «непрерывности снизу» (лемма 3) получаем:

${\displaystyle \sup _{k}\int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}(1-\varepsilon )s\,d\mu =\int _{X}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

что мы и намеревались доказать. Таким образом, осталось доказать утверждение.

Ad 1: Запишите , для неотрицательных констант и измеримых множеств , которые мы можем предположить попарно непересекающимися и с объединением . Тогда для мы имеем тогда и только тогда, когда так ${\displaystyle s=\sum _{1\leq i\leq m}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$${\displaystyle \textstyle X=\coprod _{i=1}^{m}A_{i}}$${\displaystyle x\in A_{i}}$${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)}$${\displaystyle f_{k}(x)\in [(1-\varepsilon )c_{i},\,\infty ],}$

${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }=\coprod _{i=1}^{m}{\Bigl (}f_{k}^{-1}{\Bigl (}[(1-\varepsilon )c_{i},\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}}$

который измерим, поскольку измеримы.${\displaystyle f_{k}}$

Объявление 2: Ибо у нас так${\displaystyle x\in B_{k}^{s,\varepsilon }}$${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)}$${\displaystyle x\in B_{k+1}^{s,\varepsilon }.}$

Объявление 3: Исправить . Если то , следовательно . В противном случае и так для достаточно большого , следовательно .${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s(x)=0}$${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)=0\leq f_{1}(x)}$${\displaystyle x\in B_{1}^{s,\varepsilon }}$${\displaystyle s(x)>0}$${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)<s(x)\leq f(x)=\sup _{k}f(x)}$${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)<f_{N_{x}}(x)}$${\displaystyle N_{x}}$${\displaystyle x\in B_{N_{x}}^{s,\varepsilon }}$

Доказательство теоремы о монотонной сходимости завершено.

При аналогичных гипотезах теоремы Беппо Леви можно ослабить гипотезу монотонности. ^[6] Как и прежде, пусть будет мерным пространством и . Опять же, будет последовательностью - измеримых неотрицательных функций . Однако мы не предполагаем, что они являются поточечно неубывающими. Вместо этого мы предполагаем, что сходится для почти каждого , мы определяем как поточечный предел , и мы дополнительно предполагаем, что поточечно почти всюду для всех . Тогда является -измеримым, и существует, и${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle X\in \Sigma }$${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$${\textstyle \{f_{k}(x)\}_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle f_{k}\leq f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$${\textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .}$$

Доказательство также может быть основано на лемме Фату вместо прямого доказательства, как выше, поскольку лемма Фату может быть доказана независимо от теоремы о монотонной сходимости. Однако теорема о монотонной сходимости в некотором смысле более примитивна, чем лемма Фату. Она легко следует из теоремы о монотонной сходимости, и доказательство леммы Фату похоже и, возможно, немного менее естественно, чем доказательство выше.

Как и прежде, измеримость следует из того факта, что почти всюду. Тогда перестановка пределов и интегралов является простым следствием леммы Фату. По лемме Фату, и тогда, поскольку (монотонность), Следовательно ${\textstyle f=\sup _{k}f_{k}=\lim _{k\to \infty }f_{k}=\liminf _{k\to \infty }f_{k}}$$${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu }$$${\displaystyle \int f_{k}\,d\mu \leq \int f_{k+1}\,d\mu \leq \int fd\mu }$$${\displaystyle \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu .}$$$${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$$

• Бесконечный ряд
• Теорема о доминируемой сходимости