Лемма Лебега

В математике лемма Лебега является важным утверждением теории приближения . Она дает оценку погрешности проекции, контролируя погрешность аппроксимации линейным подпространством, основанным на линейной проекции, относительно оптимальной погрешности вместе с операторной нормой проекции.

Пусть ( V , ||·||) — нормированное векторное пространство , U — подпространство V , а P — линейный проектор на U . Тогда для каждого v из V :

${\displaystyle \|v-Pv\|\leq (1+\|P\|)\inf _{u\in U}\|vu\|.}$

Доказательство представляет собой применение неравенства треугольника в одну строку : для любого u из U , записывая v − Pv как ( v − u ) + ( u − Pu ) + P ( u − v ) , следует, что

${\displaystyle \|v-Pv\|\leq \|vu\|+\|u-Pu\|+\|P(uv)\|\leq (1+\|P\|)\|uv\|}$

где последнее неравенство использует тот факт, что u = Pu вместе с определением нормы оператора || P || .

• Константы Лебега

• ДеВор, Рональд А .; Лоренц, Джордж Г. (1993). Конструктивное приближение . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 303. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-50627-6. MR  1261635. Zbl  0797.41016.