Термин ведущего порядка
Члены математического выражения с наибольшим порядком величины

Члены ведущего порядка (или поправки ) в математическом уравнении , выражении или модели — это члены с наибольшим порядком величины . [1] [2] Размеры различных членов в уравнении (уравнениях) будут меняться по мере изменения переменных , и, следовательно, члены, являющиеся ведущими, также могут меняться.

Распространенный и эффективный способ упрощения и понимания широкого спектра сложных математических моделей — исследовать, какие члены являются самыми большими (и, следовательно, наиболее важными) для определенных размеров переменных и параметров, и анализировать поведение, создаваемое только этими членами (рассматривая другие меньшие члены как незначительные). [3] [4] Это дает основное поведение — истинное поведение отличается от него лишь небольшими отклонениями. Это основное поведение может быть достаточно хорошо отражено только строго лидирующими членами, или может быть решено, что следует также включить немного меньшие члены. В этом случае фраза лидирующие члены может использоваться неформально для обозначения всей этой группы членов. Поведение, создаваемое только группой лидирующих членов, называется лидирующим поведением модели.

Простой пример

Размеры отдельных членов в y  =  x 3  + 5 x  + 0,1. (Члены ведущего порядка выделены розовым цветом.)
х0,0010.10,5210
х 30.0000000010,0010,12581000
5 х0,0050,52.51050
0.10.10.10.10.10.1
у0.1050000010,6012.72518.11050.1

Рассмотрим уравнение y  =  x 3  + 5 x  + 0,1. Для пяти различных значений x таблица показывает размеры четырех членов в этом уравнении, и какие члены являются лидирующими. По мере дальнейшего увеличения x лидирующие члены остаются как x 3 и y , но по мере того, как x уменьшается и становится все более и более отрицательным, какие члены являются лидирующими снова меняются.

Не существует строгого порога, когда два термина следует или не следует считать примерно одного порядка или величины. Одно возможное эмпирическое правило заключается в том, что два термина, которые находятся в пределах множителя 10 (один порядок величины) друг от друга, следует считать примерно одного порядка, а два термина, которые не находятся в пределах множителя 100 (два порядка величины) друг от друга, не должны. Однако между ними находится серая зона, поэтому нет фиксированных границ, где термины следует считать примерно ведущими, а где нет. Вместо этого термины то появляются, то исчезают по мере изменения переменных. Решение о том, являются ли термины в модели ведущими (или приблизительно ведущими), и если нет, то достаточно ли они малы, чтобы их можно было считать пренебрежимо малыми (два разных вопроса), часто является вопросом исследования и суждения и будет зависеть от контекста.

Поведение ведущего порядка

Уравнения только с одним членом ведущего порядка возможны, но редки. [ сомнительно – обсудить ] Например, уравнение 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1, (где правая часть содержит сто единиц). Для любой конкретной комбинации значений переменных и параметров уравнение обычно будет содержать по крайней мере два члена ведущего порядка и другие члены низшего порядка . В этом случае, сделав предположение, что члены низшего порядка и части членов ведущего порядка, которые имеют тот же размер, что и члены низшего порядка (возможно, вторая или третья значащая цифра и далее), пренебрежимо малы, новое уравнение может быть сформировано путем отбрасывания всех этих членов низшего порядка и частей членов ведущего порядка. Оставшиеся члены обеспечивают уравнение ведущего порядка , или баланс ведущего порядка , [5] или доминирующий баланс , [6] [7] [8] и создание нового уравнения, включающего только эти члены, известно как приведение уравнения к ведущему порядку . Решения этого нового уравнения называются решениями ведущего порядка [9] [10] исходного уравнения. Анализ поведения, заданного этим новым уравнением, дает поведение ведущего порядка [11] [12] модели для этих значений переменных и параметров. Размер ошибки при выполнении этого приближения обычно примерно равен размеру наибольшего игнорируемого члена.

График y  =  x 3  + 5 x  + 0,1. Ведущий порядок, или основное поведение при x  = 0,001, заключается в том, что y постоянен, а при x  = 10 — в том, что y увеличивается кубически с x .

Предположим, мы хотим понять поведение ведущего порядка в приведенном выше примере.

  • Когда x  = 0,001, члены x 3 и 5 x можно считать незначительными и отбросить, вместе со всеми значениями в третьих десятичных знаках и далее в двух оставшихся членах. Это дает баланс ведущего порядка y  = 0,1. Таким образом, поведение ведущего порядка этого уравнения при x=0,001 заключается в том, что y является постоянным.
  • Аналогично, когда x  = 10, члены 5 x и 0,1 можно считать незначительными и отбросить, вместе со всеми значениями в третьей значащей цифре и далее в двух оставшихся членах. Это дает баланс ведущего порядка y  =  x 3 . Таким образом, поведение ведущего порядка этого уравнения при x=10 заключается в том, что y увеличивается кубически с x .

Таким образом, основное поведение y может быть исследовано при любом значении x . Поведение ведущего порядка становится более сложным, когда больше членов являются ведущими. При x=2 существует баланс ведущего порядка между кубической и линейной зависимостями y от x .

Обратите внимание, что это описание поиска балансов и поведения ведущего порядка дает лишь общее описание процесса — оно не является математически строгим.

Следующий за ведущим заказ

Конечно, y на самом деле не полностью постоянна при x  = 0,001 — это просто ее основное поведение вблизи этой точки. Может оказаться, что сохранение только членов ведущего порядка (или приблизительно ведущего порядка) и рассмотрение всех других меньших членов как незначительных недостаточно (например, при использовании модели для будущего прогнозирования), и поэтому может быть необходимо также сохранить набор следующих по величине членов. Их можно назвать членами или поправками порядка, следующего за ведущим (NLO). [13] [14] Следующий набор членов после этого можно назвать членами или поправками порядка, следующего за следующим за ведущим (NNLO). [15]

Использование

Согласованные асимптотические разложения

Методы упрощения ведущего порядка используются совместно с методом согласованных асимптотических разложений , когда точное приближенное решение в каждой подобласти является решением ведущего порядка. [3] [16] [17]

Упрощение уравнений Навье–Стокса

Для конкретных сценариев течения жидкости (очень общие) уравнения Навье–Стокса могут быть значительно упрощены путем рассмотрения только компонентов ведущего порядка. Например, уравнения течения Стокса . [18] Также, уравнения тонкой пленки теории смазки .

Упрощение дифференциальных уравнений с помощью машинного обучения

Различные дифференциальные уравнения могут быть локально упрощены путем рассмотрения только компонентов ведущего порядка. Алгоритмы машинного обучения могут разбивать данные моделирования или наблюдений на локализованные разделы с членами уравнения ведущего порядка для аэродинамики, динамики океана, ангиогенеза, вызванного опухолью, и приложений синтетических данных. [19]

Смотрите также

  • Оценка , алгебраическое обобщение «ведущего порядка»

Ссылки

  1. ^ Дж. К. Хантер, Асимптотический анализ и теория сингулярных возмущений , 2004. http://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf
  2. ^ Заметки о курсе Нью-Йоркского университета
  3. ^ ab Mitchell, MJ; et al. (2010). «Модель растворения углекислого газа и кинетика карбонизации минералов». Труды Королевского общества A. 466 ( 2117): 1265–1290 . Bibcode : 2010RSPSA.466.1265M. doi : 10.1098/rspa.2009.0349 .
  4. ^ Woollard, HF; et al. (2008). "Многомасштабная модель переноса растворенного вещества в волнистом канале" (PDF) . Журнал инженерной математики . 64 (1): 25– 48. Bibcode :2009JEnMa..64...25W. doi : 10.1007/s10665-008-9239-x .
  5. ^ Стернберг, П.; Бернофф, А. Дж. (1998). «Возникновение сверхпроводимости в убывающих полях для общих доменов». Журнал математической физики . 39 (3): 1272– 1284. Bibcode : 1998JMP....39.1272B. doi : 10.1063/1.532379.
  6. ^ Саламон, ТР; и др. (1995). «Роль поверхностного натяжения в доминирующем балансе в сингулярности разбухания диэлектрика». Physics of Fluids . 7 (10): 2328– 2344. Bibcode :1995PhFl....7.2328S. doi :10.1063/1.868746. Архивировано из оригинала 2013-07-08.
  7. ^ Горшков, А. В. и др. (2008). «Когерентное квантовое оптическое управление с субволновым разрешением». Physical Review Letters . 100 (9): 93005. arXiv : 0706.3879 . Bibcode : 2008PhRvL.100i3005G. doi : 10.1103/PhysRevLett.100.093005. PMID  18352706. S2CID  3789664.
  8. ^ Линденберг, К. и др. (1994). «Диффузионно-ограниченные бинарные реакции: иерархия неклассических режимов для коррелированных начальных условий» (PDF) . Журнал физической химии . 98 (13): 3389– 3397. doi :10.1021/j100064a020.
  9. ^ Żenczykowski, P. (1988). "Матрица Кобаяши–Маскавы из решения ведущего порядка модели Фрицша n-го поколения". Physical Review D. 38 ( 1): 332– 336. Bibcode :1988PhRvD..38..332Z. doi :10.1103/PhysRevD.38.332. PMID  9959017.
  10. ^ Хоровиц, ГТ; Цейтлин, АА (1994). «Экстремальные черные дыры как точные струнные решения». Physical Review Letters . 73 (25): 3351– 3354. arXiv : hep-th/9408040 . Bibcode : 1994PhRvL..73.3351H. doi : 10.1103/PhysRevLett.73.3351. PMID  10057359. S2CID  43551044.
  11. ^ Хусейн, А. (1980). «Поведение амплитуд двухфотонного рассеяния в квантовой хромодинамике в ведущем порядке». Nuclear Physics B. 163 : 453–460 . Bibcode : 1980NuPhB.163..453A. doi : 10.1016/0550-3213(80)90411-3.
  12. ^ Круценский, М.; Оксман, Л.Е.; Залдарриага, М. (1999). «Поведение большого сжатия при генерации космологической энтропии». Классическая и квантовая гравитация . 11 (9): 2317– 2329. arXiv : gr-qc/9403024 . Bibcode : 1994CQGra..11.2317K. doi : 10.1088/0264-9381/11/9/013. S2CID  13979794.
  13. ^ Кэмпбелл, Дж.; Эллис, Р.К. (2002). «Поправки следующего за ведущим порядка к образованию струй W + 2 и струй Z + 2 на адронных коллайдерах». Physical Review D. 65 ( 11): 113007. arXiv : hep-ph/0202176 . Bibcode : 2002PhRvD..65k3007C. doi : 10.1103/PhysRevD.65.113007. S2CID  119355645.
  14. ^ Catani, S.; Seymour, MH (1996). "Дипольный формализм для расчета сечений струй КХД в следующем за ведущим порядке". Physics Letters B . 378 (1): 287– 301. arXiv : hep-ph/9602277 . Bibcode :1996PhLB..378..287C. doi :10.1016/0370-2693(96)00425-X. S2CID  15422325.
  15. ^ Кидонакис, Н.; Фогт, Р. (2003). "Поправки к мягким глюонам следующего-следующего-следующего-ведущего порядка в рождении адротопов топ-кварков". Physical Review D. 68 ( 11): 114014. arXiv : hep-ph/0308222 . Bibcode : 2003PhRvD..68k4014K. doi : 10.1103/PhysRevD.68.114014. S2CID  5943465.
  16. ^ Рубинштейн, BY; Письмен, LM (1994). "Вихревое движение в пространственно неоднородной консервативной модели Гинзбурга–Ландау" (PDF) . Physica D: Nonlinear Phenomena . 78 (1): 1– 10. Bibcode :1994PhyD...78....1R. doi :10.1016/0167-2789(94)00119-7.
  17. ^ Кившарь, YS; et al. (1998). "Динамика оптических вихревых солитонов" (PDF) . Optics Communications . 152 (1): 198– 206. Bibcode :1998OptCo.152..198K. doi :10.1016/S0030-4018(98)00149-7. Архивировано из оригинала (PDF) 2013-04-21 . Получено 2012-10-31 .
  18. ^ Заметки Корнелльского университета
  19. ^ Кайзер, Брайан Э.; Саенс, Хуан А.; Зонневальд, Майке; Ливеску, Даниэль (2022). «Автоматизированная идентификация доминирующих физических процессов». Инженерные приложения искусственного интеллекта . 116 : 105496. doi : 10.1016/j.engappai.2022.105496 . S2CID  252957864.
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Leading-order_term&oldid=1255110645"