Метод Лакса–Фридрихса

Метод Лакса–Фридрихса , названный в честь Питера Лакса и Курта О. Фридрихса , представляет собой численный метод решения гиперболических уравнений в частных производных, основанный на конечных разностях . Метод можно описать как схему FTCS (вперед во времени, центрированную в пространстве) с численным членом диссипации 1/2. Можно рассматривать метод Лакса–Фридрихса как альтернативу схеме Годунова , где избегают решения задачи Римана на каждом интерфейсе ячеек за счет добавления искусственной вязкости.

Иллюстрация к линейной задаче

Рассмотрим одномерное линейное гиперболическое уравнение в частных производных для вида: в области с начальным условием и граничными условиями $u(x,t)$ $u_{t}+au_{x}=0$ $b\leq x\leq c,\;0\leq t\leq d$ $u(x,0)=u_{0}(x)\,$ ${\begin{align}u(b,t)&=u_{b}(t)\\u(c,t)&=u_{c}(t).\end{align}}$

Если дискретизировать домен до сетки с равноотстоящими точками с интервалом в -направлении и в -направлении, мы вводим приближение , где - целые числа, представляющие количество интервалов сетки. Тогда метод Лакса-Фридрихса для приближения уравнения в частных производных задается как: $(b,c)\times (0,d)$ $\Дельта х$ $x$ $\Дельта t$ $т$ ${\тильда {u}}$ $u$ $u_{i}^{n}={\tilde {u}}(x_{i},t^{n})~~{\text{ с }}~~{\begin{array}{l}x_{i}=b+i\,\Delta x,\\t^{n}=n\,\Delta t\end{array}}~~{\text{ для }}~~{\begin{array}{l}i=0,\ldots ,N,\\n=0,\ldots ,M,\end{array}}$ $N={\frac {cb}{\Delta x}},\,M={\frac {d}{\Delta t}}$ ${\frac {u_{i}^{n+1}-{\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\,\Delta x}}=0$

Или, переписывая это, чтобы найти неизвестное $u_{i}^{n+1},$ $u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}\left(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)-a{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right)$

Откуда берутся начальные значения и граничные узлы ${\begin{align}u_{i}^{0}&=u_{0}(x_{i})\\u_{0}^{n}&=u_{b}(t^{n})\\u_{N}^{n}&=u_{c}(t^{n}).\end{align}}$

Расширения для нелинейных задач

Нелинейный гиперболический закон сохранения определяется через функцию потока : $f$ $u_{t}+(f(u))_{x}=0.$

В случае мы приходим к скалярной линейной задаче. Заметим, что в общем случае — вектор с уравнениями в нем. Обобщение метода Лакса-Фридрихса на нелинейные системы принимает вид ^[1] $f(u)=au$ $u$ $м$ $u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}\left(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}\left(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right).$

Этот метод является консервативным и точным первого порядка, следовательно, довольно диссипативным. Однако его можно использовать в качестве строительного блока для построения численных схем высокого порядка для решения гиперболических уравнений в частных производных, подобно тому, как временные шаги Эйлера можно использовать в качестве строительного блока для создания численных интеграторов высокого порядка для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Отметим, что этот метод можно записать в форме сохранения: где $u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left({\hat {f}}_{i+1/2}^{n}-{\hat {f}}_{i-1/2}^{n}\right),$ ${\hat {f}}_{i-1/2}^{n}={\frac {1}{2}}\left(f_{i-1}+f_{i}\right)-{\frac {\Delta x}{2\Delta t}}\left(u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}\right).$

Без дополнительных членов и в дискретном потоке, мы приходим к схеме FTCS , которая, как хорошо известно, безусловно неустойчива для гиперболических задач. $u_{i}^{n}$ $u_{i-1}^{n}$ ${\hat {f}}_{i-1/2}^{n}$

Стабильность и точность

Этот метод является явным и имеет первый порядок точности по времени и первый порядок точности по пространству ( при условии, что функции достаточно гладкие). При этих условиях метод является устойчивым тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: $O(\Delta t)+O({\Delta x^{2}}/{\Delta t}))$ $u_{0}(x),\,u_{b}(t),\,u_{c}(t)$ $\left|a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1.$

( Анализ устойчивости фон Неймана может показать необходимость этого условия устойчивости.) Метод Лакса–Фридрихса классифицируется как имеющий диссипацию второго порядка и дисперсию третьего порядка . ^[2] Для функций, имеющих разрывы , схема демонстрирует сильную диссипацию и дисперсию; ^[3] см. рисунки справа.

Ссылки

^ LeVeque, Randall J. (1992). Численные методы для законов сохранения. Базель: Birkhäuser Verlag. стр. 125. ISBN 978-3-0348-8629-1. OCLC 828775522.
^ Чу, CK (1978), Численные методы в механике жидкостей , Достижения в прикладной механике, т. 18, Нью-Йорк: Academic Press , стр. 304, ISBN 978-0-12-002018-8
^ Томас, Дж. В. (1995), Численные уравнения в частных производных: методы конечных разностей , Тексты по прикладной математике, т. 22, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , §7.8, ISBN 978-0-387-97999-1

ДюШато, Пол; Захманн, Дэвид (2002), Прикладные уравнения в частных производных , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41976-3
Press, William H; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 20.1.2. Метод Лакса», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

[1] LeVeque, Randall J. (1992). Численные методы для законов сохранения. Базель: Birkhäuser Verlag. стр. 125. ISBN 978-3-0348-8629-1. OCLC 828775522.

[2] Чу, CK (1978), Численные методы в механике жидкостей , Достижения в прикладной механике, т. 18, Нью-Йорк: Academic Press , стр. 304, ISBN 978-0-12-002018-8

[3] Томас, Дж. В. (1995), Численные уравнения в частных производных: методы конечных разностей , Тексты по прикладной математике, т. 22, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , §7.8, ISBN 978-0-387-97999-1