Преобразование Ландена

Преобразование Ландена — это отображение параметров эллиптического интеграла , полезное для эффективной численной оценки эллиптических функций. Первоначально оно было предложено Джоном Ланденом и независимо переоткрыто Карлом Фридрихом Гауссом . ^[1]

Неполный эллиптический интеграл первого рода F равен

${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}},}$

где — модульный угол . Преобразование Ландена утверждает, что если , , , таковы, что и , то ^[2]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \varphi _{0}}$${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle (1+\sin \alpha _{1})(1+\cos \alpha _{0})=2}$${\displaystyle \tan(\varphi _{1}-\varphi _{0})=\cos \alpha _{0}\tan \varphi _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi _{0}\setminus \alpha _{0})&=(1+\cos \alpha _{0})^{-1}F(\varphi _{1}\setminus \alpha _{1})\\&={\tfrac {1}{2}}(1+\sin \alpha _{1})F(\varphi _{1}\setminus \alpha _{1}).\end{aligned}}}$

Преобразование Ландена можно аналогичным образом выразить через эллиптический модуль и его дополнение .${\displaystyle k=\sin \alpha }$${\displaystyle k'=\cos \alpha }$

В формулировке Гаусса значение интеграла

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta }$

не изменится, если и заменить их средними арифметическими и геометрическими значениями соответственно, то есть${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {a+b}{2}},\qquad b_{1}={\sqrt {ab}},}$

${\displaystyle I_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a_{1}^{2}\cos ^{2}(\theta )+b_{1}^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta .}$

Поэтому,

${\displaystyle I={\frac {1}{a}}K\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right),}$

${\displaystyle I_{1}={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right).}$

Из преобразования Ландена мы заключаем,

${\displaystyle K\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)={\frac {2a}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}$

и .${\displaystyle I_{1}=I}$

Преобразование может быть осуществлено путем интегрирования путем подстановки . Удобно сначала привести интеграл к алгебраической форме путем подстановки , что дает${\displaystyle \theta =\arctan(x/b)}$${\displaystyle d\theta =(\cos ^{2}(\theta )/b)dx}$

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,dx}$

Дальнейшая замена дает желаемый результат${\displaystyle x=t+{\sqrt {t^{2}+ab}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)(t^{2}+ab)}}}}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)\left(t^{2}+\left({\sqrt {ab}}\right)^{2}\right)}}}\,dt\end{aligned}}}$

Этот последний шаг облегчается путем записи радикала в виде

${\displaystyle {\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}=2x{\sqrt {t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}}$

и бесконечно малое как

${\displaystyle dx={\frac {x}{\sqrt {t^{2}+ab}}}\,dt}$

так что фактор распознается и отменяется между двумя факторами.${\displaystyle x}$

Если преобразование повторяется несколько раз, то параметры и очень быстро сходятся к общему значению, даже если они изначально имеют разные порядки величины. Предельное значение называется арифметико-геометрическим средним и , . В пределе подынтегральное выражение становится константой, так что интегрирование тривиально${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \operatorname {AGM} (a,b)}$

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\operatorname {AGM} (a,b)}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (a,b)}}}$

Интеграл также может быть признан кратным полного эллиптического интеграла Лежандра первого рода . Полагая${\displaystyle b^{2}=a^{2}(1-k^{2})}$

${\displaystyle I={\frac {1}{a}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta ={\frac {1}{a}}F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)={\frac {1}{a}}K(k)}$

Следовательно, для любого среднее арифметико-геометрическое и полный эллиптический интеграл первого рода связаны соотношением${\displaystyle a}$

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}}$

Выполняя обратное преобразование (обратную арифметико-геометрическую итерацию), то есть

${\displaystyle a_{-1}=a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,}$

${\displaystyle b_{-1}=a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,}$

${\displaystyle \operatorname {AGM} (a,b)=\operatorname {AGM} \left(a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)\,}$

отношение может быть записано как

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1+k,1-k)}}\,}$

которая может быть решена для AGM пары произвольных аргументов;

${\displaystyle \operatorname {AGM} (u,v)={\frac {\pi (u+v)}{4K\left({\frac {u-v}{v+u}}\right)}}.}$

• Луис В. Кинг «О прямом численном вычислении эллиптических функций и интегралов» (Издательство Кембриджского университета, 1924)