Ланде g-фактор

В физике g -фактор Ланде является частным примером g -фактора , а именно для электрона с двумя моментами импульса: спиновым и орбитальным . Он назван в честь Альфреда Ланде , который впервые описал его в 1921 году. ^[1]

В атомной физике g -фактор Ланде — это мультипликативный член, появляющийся в выражении для энергетических уровней атома в слабом магнитном поле . Квантовые состояния электронов на атомных орбиталях обычно вырождены по энергии , причем все эти вырожденные состояния разделяют один и тот же угловой момент. Однако, когда атом помещается в слабое магнитное поле, вырождение снимается.

Фактор возникает при вычислении возмущения первого порядка в энергии атома, когда к системе прикладывается слабое однородное магнитное поле (то есть слабое по сравнению с внутренним магнитным полем системы). Формально мы можем записать фактор как, ^[2]

${\displaystyle g_{J}=g_{L}{\frac {J(J+1)-S(S+1)+L(L+1)}{2J(J+1)}}+g_{S}{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}.}$

Орбиталь равна 1, и в приближении приведенное выше выражение упрощается до${\displaystyle g_{L}}$${\displaystyle g_{S}=2}$

${\displaystyle g_{J}(g_{L}=1,g_{S}=2)=1+{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}.}$

Здесь J — полный электронный угловой момент , L — орбитальный угловой момент, а S — спиновый угловой момент . Поскольку для электронов часто можно увидеть эту формулу, записанную с 3/4 вместо . Величины g _L и g _S — другие g -факторы электрона. Для атома, а для атома .${\displaystyle S=1/2}$${\displaystyle S(S+1)}$${\displaystyle S=0}$${\displaystyle g_{J}=1}$${\displaystyle L=0}$${\displaystyle g_{J}=2}$

Если мы хотим узнать g -фактор для атома с полным атомным угловым моментом (ядро + электроны), таким, что полное квантовое число атомного углового момента может принимать значения , то${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {I}}+{\vec {J}}}$${\displaystyle F=J+I,J+I-1,\dots ,|JI|}$

${\displaystyle {\begin{align}g_{F}&=g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)}}+g_{I}{\frac {\mu _{\text{N}}}{\mu _{\text{B}}}}{\frac {F(F+1)+I(I+1)-J(J+1)}{2F(F+1)}}\\&\approx g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)}}\end{align}}}$

Здесь — магнетон Бора , а — ядерный магнетон . Последнее приближение оправдано, поскольку меньше, чем на отношение массы электрона к массе протона.${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$${\displaystyle \mu _{\text{N}}}$${\displaystyle \mu _{N}}$${\displaystyle \mu _{B}}$

Следующая работа является общим выводом. ^{[3] [4]}

В магнитный момент вносят вклад как орбитальный момент импульса, так и спиновый момент импульса электрона. В частности, каждый из них в отдельности вносит вклад в магнитный момент в следующей форме

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{L}=- {\vec {L}}g_ {L} \mu _ {\rm {B}}/\hbar }$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{S}=- {\vec {S}}g_{S}\mu _{\rm {B}}/\hbar }$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{J}={\vec {\mu }}_{L}+{\vec {\mu }}_{S}}$

где

${\displaystyle g_{L}=1}$

${\displaystyle g_{S}\approx 2}$

Обратите внимание, что отрицательные знаки в приведенных выше выражениях возникают из-за того, что электрон несет отрицательный заряд, а значение может быть получено естественным образом из уравнения Дирака . Полный магнитный момент , как векторный оператор, не лежит на направлении полного углового момента , поскольку g-факторы для орбитальной и спиновой части различны. Однако, благодаря теореме Вигнера-Эккарта , его ожидаемое значение фактически лежит на направлении , которое может быть использовано при определении g -фактора в соответствии с правилами связи углового момента . В частности, g -фактор определяется как следствие самой теоремы${\displaystyle g_{S}}$${\displaystyle {\vec {\mu }}_{J}}$${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}}$${\displaystyle {\vec {J}}}$

${\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{z}\rangle = -g_{J}\mu _{\rm {B} }\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J'_{z}\rangle }$

Поэтому,

${\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{z} \rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\ vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle }$

${\displaystyle \sum _{J'_{z}}\langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-\sum _{J'_{z}}g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J} }|J,J_{z}\rangle }$

${\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\quad \hbar ^{2}J(J+1)}$

Один получает

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{J}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle &=\langle J,J_{z}|g_{L}{{\vec {L}}\cdot {\vec {J}}}+g_{S}{{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}}|J,J_{z}\rangle \\&=\langle J,J_{z}|g_{L}{({\vec {L}}^{2}+{\frac {1}{2}}({\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}))}+g_{S}{({\vec {S}}^{2}+{\frac {1}{2}}({\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}))}|J,J_{z}\rangle \\&={\frac {g_{L}\hbar ^{2}}{2}}(J(J+1)+L(L+1)-S(S+1))+{\frac {g_{S}\hbar ^{2}}{2}}(J(J+1)-L(L+1)+S(S+1))\\g_{J}&=g_{L}{\frac {J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)}{2J(J+1)}}+g_{S}{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}\end{aligned}}}$

• Эффект Эйнштейна-де Гааза ,
• эффект Зеемана ,
• g-фактор (физика) .