класс Лагерр-Полиа

Класс Лагерра–Полиа — это класс целых функций, состоящий из тех функций, которые локально являются пределом ряда полиномов, все корни которых действительны. ^[1] Любая функция класса Лагерра–Полиа также принадлежит классу Полиа .

Произведение двух функций в классе также принадлежит классу, поэтому класс представляет собой моноид относительно операции умножения функций.

Некоторые свойства функции класса Лагерра–Полиа:${\displaystyle E(z)}$

• Все корни реальны.
• ${\displaystyle |E(x+iy)|=|E(x-iy)|}$для действительных x и y .
• ${\displaystyle |E(x+iy)|}$является неубывающей функцией y для положительных y .

Функция принадлежит классу Лагерра–Полиа тогда и только тогда, когда выполняются три условия:

• Все корни настоящие.
• Ненулевые нули z _n удовлетворяют

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {1}{|z_{n}|^{2}}}}$сходится, причем нули подсчитываются в соответствии с их кратностью )

• Функцию можно выразить в виде произведения Адамара

${\displaystyle z^{m}e^{a+bz+cz^{2}}\prod _{n}\left(1-z/z_{n}\right)\exp(z/z_{n})}$

где b и c действительны, а c неположительное. (Неотрицательное целое число m будет положительным, если E (0)=0. Обратите внимание, что если количество нулей бесконечно, то, возможно, придется определить, как взять бесконечное произведение.)

Вот некоторые примеры:${\displaystyle \sin(z),\cos(z),\exp(z),\exp(-z), {\text{and }}\exp(-z^{2}).}$

С другой стороны, не относятся к классу Лагерра–Полиа.${\displaystyle \sinh(z),\cosh(z),{\text{и}}\exp(z^{2})}$

Например,

${\displaystyle \exp(-z^{2})=\lim _ {n\to \infty }(1-z^{2}/n)^{n}.}$

Косинус можно вычислить несколькими способами. Вот одна серия полиномов, имеющих все действительные корни:

${\displaystyle \cos z=\lim _ {n\to \infty }((1+iz/n)^{n}+(1-iz/n)^{n})/2}$

А вот еще:

${\displaystyle \cos z=\lim _{n\to \infty }\prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{((m-{\frac {1}{2}})\pi )^{2}}}\right)}$

Это показывает нарастание произведения Адамара для косинуса.

Если мы заменим z ² на z , то получим еще одну функцию в классе:

${\displaystyle \cos {\sqrt {z}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z}{((m-{\frac {1}{2}})\pi )^{2}}}\right)}$

Другим примером является обратная гамма-функция 1/Γ(z). Это предел полиномов следующего вида:

${\displaystyle 1/\Гамма (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n!}}(1-(\ln n)z/n)^{n}\prod _{m=0}^{n}(z+m).}$