LB-пространство

В математике LB - пространство , также обозначаемое как ( LB )-пространство , — это топологическое векторное пространство , которое является локально выпуклым индуктивным пределом счетной индуктивной системы банаховых пространств . Это означает, что является прямым пределом прямой системы в категории локально выпуклых топологических векторных пространств , и каждое из них является банаховым пространством.${\displaystyle X}$${\displaystyle (X_{n},i_{нм})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X_{n},i_{нм}\right)}$ ${\displaystyle X_{n}}$

Если каждая из карт связывания является вложением TVS, то LB -пространство называется строгим LB -пространством . Это означает, что топология, индуцированная на , идентична исходной топологии на ^[1] Некоторые авторы (например, Шефер) определяют термин « LB -пространство» как «строгое LB -пространство».${\displaystyle i_{нм}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n+1}}$${\displaystyle X_{n}.}$

Топологию на можно описать, указав, что абсолютно выпуклое подмножество является окрестностью тогда и только тогда, когда является абсолютно выпуклой окрестностью в для каждого${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U\cap X_{n}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle сущ.}$

Строгое LB -пространство является полным , ^[2] бочкообразным , ^[2] и борнологическим ^[2] (и, следовательно, ультраборнологическим ).

Если — локально компактное топологическое пространство , счетное на бесконечности (то есть равное счетному объединению компактных подпространств), то пространство всех непрерывных комплекснозначных функций на с компактным носителем является строгим LB -пространством. ^[3] Для любого компактного подмножества пусть обозначает банахово пространство комплекснозначных функций, которые содержатся на с равномерной нормой, и упорядочивает семейство компактных подмножеств по включению. ^[3]${\displaystyle D}$${\displaystyle C_{c}(D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle K\subseteq D,}$${\displaystyle C_{c}(K)}$${\displaystyle К}$${\displaystyle D}$

Окончательная топология на прямом пределе конечномерных евклидовых пространств

Позволять

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }~&:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ все, кроме конечного числа }}x_{i}{\text{ равны 0 }}\right\},\end{alignedat}}}$

обозначим пространство конечных последовательностей , где обозначим пространство всех действительных последовательностей . Для каждого натурального числа обозначим обычное евклидово пространство , наделенное евклидовой топологией , и обозначим каноническое включение , определяемое так, что его образ есть${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {В} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle \operatorname {В} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

и, следовательно,

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

Наделим множество финальной топологией, индуцированной семейством всех канонических включений. С этой топологией становится полным хаусдорфовым локально выпуклым секвенциальным топологическим векторным пространством , которое не является пространством Фреше –Урысона . Топология строго тоньше , чем топология подпространства, индуцированная на , где наделяется своей обычной топологией произведения . Наделим изображение финальной топологией, индуцированной на нем биекцией , то есть наделяем его евклидовой топологией, переданной на него с помощью Эта топология на равна топологии подпространства, индуцированной на нем Подмножество открыто (соответственно замкнуто) в тогда и только тогда, когда для каждого множество является открытым (соответственно замкнутым) подмножеством Топология согласована с семейством подпространств Это превращает в LB-пространство. Следовательно, если и является последовательностью в , то в тогда и только тогда, когда существует некоторое такое, что и содержатся в и в${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {В} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Я} \left(\operatorname {В} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {В} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

Часто для каждого каноническое включение используется для идентификации с его образом в явном виде, элементы и идентифицируются вместе. При этой идентификации становится прямым пределом прямой системы , где для каждого отображение является каноническим включением, определяемым где есть конечные нули.${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$${\displaystyle m\leq n,}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$${\displaystyle n-m}$

Существует борнологическое LB-пространство, сильное бидуальное множество которого не является борнологическим. ^[4] Существует LB-пространство, которое не является квазиполным . ^[4]

• DF-пространство  – класс специального локально-выпуклого пространстваPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Прямой предел  – Частный случай копредела в теории категорий
• Окончательная топология  – наилучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными
• F-пространство  – топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой
• LF-пространство  – Топологическое векторное пространство

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Бирстедт, Клаус-Дитер (1988). «Введение в локально выпуклые индуктивные пределы». Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek: 35–133 . Получено 20 сентября 2020 г.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском). 16. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1216-7. MR  0075539. OCLC  1315788.
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли в математике. Том 1. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.