L-полувнутреннее произведение
Обобщение внутренних произведений, применимое ко всем нормированным пространствам

В математике существует два различных понятия полувнутреннего произведения . Первое, и более распространенное, — это внутреннее произведение, которое не обязательно должно быть строго положительным. В этой статье будет рассмотрено второе, называемое L-полувнутренним произведением или полувнутренним произведением в смысле Люмера , которое является внутренним произведением, не обязательно должно быть сопряженно симметричным. Оно было сформулировано Гюнтером Люмером с целью расширения аргументов типа гильбертова пространства на банаховы пространства в функциональном анализе . [1] Фундаментальные свойства были позже исследованы Джайлсом. [2]

Определение

Мы еще раз отметим, что представленное здесь определение отличается от определения «полускрытого произведения» в стандартных учебниках по функциональному анализу [3] , где «полускрытое произведение» удовлетворяет всем свойствам скалярных произведений (включая сопряженную симметрию), за исключением того, что оно не обязательно должно быть строго положительным.

Полускалярное произведение , L-скалярное произведение или полускалярное произведение в смысле Люмера для линейного векторного пространства над полем комплексных чисел — это функция от до , обычно обозначаемая как , такая, что для всех В {\displaystyle V} С {\displaystyle \mathbb {C} } В × В {\displaystyle V\times V} С , {\displaystyle \mathbb {C} ,} [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} ф , г , час ∈ В : {\displaystyle f,g,h\in V:}

  1. Неотрицательная определенность : [ ф , ф ] ≥ 0 , {\displaystyle [f,f]\geq 0,}
  2. Линейность по 1-му аргументу, что означает:
    1. Аддитивность в 1-м аргументе: [ ф + г , час ] = [ ф , час ] + [ г , час ] , {\displaystyle [f+g,h]=[f,h]+[g,h],}
    2. Однородность по 1-му аргументу: [ с ф , г ] = с [ ф , г ]  для всех  с ∈ С , {\displaystyle [sf,g]=s[f,g]\quad {\text{ для всех }}s\in \mathbb {C} ,}
  3. Сопряженная однородность по 2-му аргументу: [ ф , с г ] = с ¯ [ ф , г ]  для всех  с ∈ С , {\displaystyle [f,sg]={\overline {s}}[f,g]\quad {\text{ для всех }}s\in \mathbb {C} ,}
  4. Неравенство Коши-Шварца : | [ ф , г ] | ≤ [ ф , ф ] 1 / 2 [ г , г ] 1 / 2 . {\displaystyle |[ж,г]|\leq [ж,ж]^{1/2}[ж,г]^{1/2}.}

Отличие от внутренних продуктов

Полу-внутреннее произведение отличается от внутреннего произведения тем, что оно в общем случае не является сопряженно-симметричным, то есть, в общем случае. Это эквивалентно утверждению, что [4] [ ф , г ] ≠ [ г , ф ] ¯ {\displaystyle [f,g]\neq {\overline {[g,f]}}} [ ф , г + час ] ≠ [ ф , г ] + [ ф , час ] . {\displaystyle [f,g+h]\neq [f,g]+[f,h].\,}

Другими словами, полускалярные произведения, как правило, нелинейны относительно своей второй переменной.

Полувнутренние произведения для нормированных пространств

Если является полускалярным произведением для линейного векторного пространства , то определяет норму на . [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} В {\displaystyle V} ‖ ф ‖ := [ ф , ф ] 1 / 2 , ф ∈ В {\displaystyle \|f\|:=[f,f]^{1/2},\quad f\in V} В {\displaystyle V}

Наоборот, если — нормированное векторное пространство с нормой , то всегда существует (не обязательно единственное) полускалярное произведение на , которое согласуется с нормой на в том смысле, что [1] В {\displaystyle V} ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} В {\displaystyle V} В {\displaystyle V} ‖ ф ‖ = [ ф , ф ] 1 / 2 ,      для всех  ф ∈ В . {\displaystyle \|f\|=[f,f]^{1/2},\ \ {\text{ для всех }}f\in V.}

Примеры

Евклидово пространство с нормой ( ) имеет согласованное полускалярное произведение: где С н {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ℓ п {\displaystyle \ell ^{p}} 1 ≤ п < + ∞ {\displaystyle 1\leq p<+\infty } ‖ х ‖ п := ( ∑ дж = 1 н | х дж | п ) 1 / п {\displaystyle \|x\|_{p}:={\biggl (}\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{p}{\biggr )}^{1/p}} [ х , у ] := ∑ дж = 1 н х дж у дж ¯ | у дж | п − 2 ‖ у ‖ п п − 2 , х , у ∈ С н ∖ { 0 } ,     1 < п < + ∞ , {\displaystyle [x,y]:={\frac {\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\overline {y_{j}}}|y_{j}|^{p-2}}{\|y\|_{p}^{p-2}}},\quad x,y\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\ \ 1<p<+\infty,} [ х , у ] := ‖ у ‖ 1 ∑ дж = 1 н х дж знак ⁡ ( у дж ¯ ) , х , у ∈ С н ,     п = 1 , {\displaystyle [x,y]:=\|y\|_{1}\sum _{j=1}^{n}x_{j}\operatorname {sgn} ({\overline {y_{j}}}),\quad x,y\in \mathbb {C} ^{n},\ \ p=1,} знак ⁡ ( т ) := { т | т | , т ∈ С ∖ { 0 } , 0 , т = 0. {\displaystyle \operatorname {sgn} (t):=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {t}{|t|}},&t\in \mathbb {C} \setminus \{0\},\\0,&t=0.\end{array}}\right.}

В общем случае пространство -интегрируемых функций на пространстве с мерой , где с нормой имеет согласованное полускалярное произведение: Л п ( Ω , г μ ) {\displaystyle L^{p}(\Omega ,d\mu )} п {\displaystyle p} ( Ω , μ ) , {\displaystyle (\Омега,\му),} 1 ≤ п < + ∞ , {\displaystyle 1\leq p<+\infty,} ‖ ф ‖ п := ( ∫ Ω | ф ( т ) | п г μ ( т ) ) 1 / п {\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }|f(t)|^{p}d\mu (t)\right)^{1/p}} [ ф , г ] := ∫ Ω ф ( т ) г ( т ) ¯ | г ( т ) | п − 2 г μ ( т ) ‖ г ‖ п п − 2 ,     ф , г ∈ Л п ( Ω , г μ ) ∖ { 0 } ,     1 < п < + ∞ , {\displaystyle [f,g]:={\frac {\int _{\Omega }f(t){\overline {g(t)}}|g(t)|^{p-2}d\mu (t)}{\|g\|_{p}^{p-2}}},\ \ f,g\in L^{p}(\Omega ,d\mu )\setminus \{0\},\ \ 1<p<+\infty ,} [ ф , г ] := ∫ Ω ф ( т ) знак ⁡ ( г ( т ) ¯ ) г μ ( т ) ,     ф , г ∈ Л 1 ( Ω , г μ ) . {\displaystyle [f,g]:=\int _{\Omega }f(t)\operatorname {sgn} ({\overline {g(t)}})d\mu (t),\ \ f,g\in L^{1}(\Omega ,d\mu ).}

Приложения

  1. Следуя идее Люмера, полускалярные произведения широко применялись для изучения ограниченных линейных операторов в банаховых пространствах. [5] [6] [7]
  2. В 2007 году Дер и Ли применили полувнутренние произведения для разработки классификации больших полей в банаховых пространствах. [8]
  3. В последнее время полувнутренние произведения использовались в качестве основного инструмента при создании концепции воспроизведения пространств Банаха ядра для машинного обучения. [9]
  4. Полускалярные произведения также можно использовать для создания теории фреймов, базисов Рисса для банаховых пространств. [10]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Lumer, G. (1961), "Пространства полускрытых произведений", Труды Американского математического общества , 100 : 29–43 , doi : 10.2307/1993352 , MR  0133024.
  2. ^ Дж. Р. Джайлс, Классы пространств полускалярного произведения, Труды Американского математического общества 129 (1967), 436–446.
  3. ^ Дж. Б. Конвей. Курс функционального анализа. 2-е издание, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1990, стр. 1.
  4. ^ SV Phadke и NK Thakare, Когда sip-пространство является гильбертовым?, The Mathematics Student 42 (1974), 193–194.
  5. ^ С. Драгомир, Полувнутренние продукты и приложения, Nova Science Publishers, Хоппауг, Нью-Йорк, 2004.
  6. ^ DO Koehler, Заметка о теории некоторых операторов в некоторых пространствах полускалярного произведения, Труды Американского математического общества 30 (1971), 363–366.
  7. ^ Э. Торранс, Строго выпуклые пространства посредством ортогональности полускалярного пространства, Труды Американского математического общества 26 (1970), 108–110.
  8. ^ Р. Дер и Д. Ли, Классификация с большим запасом в банаховых пространствах, Труды семинара и конференции JMLR 2: AISTATS (2007), 91–98.
  9. ^ Хайчжан Чжан, Юэшэн Сюй и Цзюнь Чжан, Воспроизведение пространств Банаха ядра для машинного обучения, Журнал исследований машинного обучения 10 (2009), 2741–2775.
  10. ^ Хайчжан Чжан и Цзюнь Чжан, Фреймы, базисы Рисса и разложения выборок в банаховых пространствах с помощью полускалярных произведений, Прикладной и вычислительный гармонический анализ 31 (1) (2011), 1–25.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=L-semi-inner_product&oldid=1242192371"