Теорема Куммера

В математике теорема Куммера — это формула для показателя наивысшей степени простого числа p , делящего заданный биномиальный коэффициент. Другими словами, она дает p -адическую оценку биномиального коэффициента . Теорема названа в честь Эрнста Куммера , который доказал ее в статье (Kummer 1852).

Теорема Куммера утверждает, что для заданных целых чисел n  ≥  m  ≥ 0 и простого числа p p -адическая оценка биномиального коэффициента равна числу переносов при прибавлении m к n  −  m в системе счисления с основанием p .${\displaystyle \nu _{p}\!{\tbinom {n}{m}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ 

Эквивалентная формулировка теоремы выглядит следующим образом:

Запишите основание целого числа как , и определите как сумму оснований цифр. Тогда${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}$${\displaystyle S_{p}(n):=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \nu _{p}\!{\binom {n}{m}}={\dfrac {S_{p}(m)+S_{p}(nm)-S_{p}(n)}{p-1}}.}$

Теорему можно доказать, записав ее как и используя формулу Лежандра . ^[1]${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$${\displaystyle {\tfrac {n!}{м!(нм)!}}}$

Чтобы вычислить наибольшую степень числа 2, делящего биномиальный коэффициент, запишите m = 3 и n − m = 7 в системе счисления с основанием p = 2 как 3 = 11 ₂ и 7 = 111 _2. Выполнение сложения 11 ₂ + 111 ₂ = 1010 ₂ в системе счисления с основанием 2 требует трех переносов:${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}}$

	1	1	1
			1	1 2
+		1	1	1 2
	1	0	1	0 2

Следовательно, наибольшая степень числа 2, на которую оно делится, — это 3.${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15}$

В качестве альтернативы можно использовать форму, включающую суммы цифр. Суммы цифр 3, 7 и 10 в основании 2 равны , , и соответственно. Тогда${\displaystyle S_{2}(3)=1+1=2}$${\displaystyle S_{2}(7)=1+1+1=3}$${\displaystyle S_{2}(10)=1+0+1+0=2}$

${\displaystyle \nu _{2}\!{\binom {10}{3}}={\dfrac {S_{2}(3)+S_{2}(7)-S_{2}(10)} {2-1}}={\dfrac {2+3-2}{2-1}}=3.}$

Теорему Куммера можно обобщить на полиномиальные коэффициенты следующим образом: ${\displaystyle {\tбином {n}{м_{1},\ldots ,м_{к}}}={\tfrac {n!}{м_{1}!\cdots м_{к}!}}}$

${\displaystyle \nu _{p}\!{\binom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\dfrac {1}{p-1}}\left(n-S_{p}(n)-\sum _{i=1}^{k}\left(m_{i}-S_{p}(m_{i})\right)\right).}$

• Теорема Люка

• Куммер, Эрнст (1852). «Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen». Журнал для королевы и математики . 1852 (44): 93–146. дои : 10.1515/crll.1852.44.93.
• Теорема Куммера на PlanetMath .