Криякрамакари

Криякрамакари ( Kriyaā-kramakarī ) — подробный комментарий на санскрите, написанный Шанкарой Вариаром и Нараяной, двумя астрономами-математиками, принадлежащими к керальской школе астрономии и математики , к известному учебнику Бхаскары II по математике «Лилавати» . ^[1] Криякрамакари («Оперативные методы» ^[2] ), наряду с «Юктибхасой» Джьештадевы , является одним из основных источников информации о работе и вкладе Сангамаграмы Мадхавы , основателя керальской школы астрономии и математики . ^[3] Также цитаты, приведенные в этом трактате, проливают свет на вклад нескольких математиков и астрономов, которые процветали в более раннюю эпоху. Есть несколько цитат, приписываемых Говиндасвами, астроному 9-го века из Кералы. ^[4]

Шанкара Вариар (ок. 1500 - 1560), первый автор Криякрамакари, был учеником Нилаканты Сомаяджи и помощником храма по профессии. Он был видным представителем керальской школы астрономии и математики. Среди его работ - Юкти-дипика, обширный комментарий к Тантрасанграхе Нилаканты Сомаяджи. Нараяна (ок. 1540-1610), второй автор, был брахманом Нампутири , принадлежавшим к семье Махишамангалам в Пуруванаграме (Перуванам в современном округе Триссур в Керале ).

Шанкара Вариар написал свой комментарий к Лилавати до строфы 199. Вариар закончил его около 1540 года, когда он прекратил писать из-за других занятий. Иногда после его смерти Нараяна завершал комментарий к оставшимся строфам в Лилавати.

Согласно критическому изданию «Лилавати» ^{[5], написанному} К. В. Сармой на основе крийякрамакари, строфа 199 «Лилавати» звучит следующим образом ^[6] ( для транскрипции индийских символов используется Гарвардско-Киотоская конвенция ):

Вьясе бха-нанда-агни-хате вибхакте кха-бана-сурьайис паридхис сас сукшмас/

dvAviMzati-ghne vihRte atha zailais sthULas atha-va syAt vyavahAra-yogyas//

Это можно перевести следующим образом:

«Умножьте диаметр на 3927 и разделите произведение на 1250; это даст более точную окружность. Или умножьте диаметр на 22 и разделите произведение на 7; это даст приблизительную окружность, которая соответствует обычным операциям». ^[7]

Взяв этот стих за отправную точку и прокомментировав его, Санакара Вариар в своем «Криякракари» подробно изложил вклад Сангамаграмы Мадхавы в получение точных значений числа π. Шанкара Вариар прокомментировал это так:

«Учитель Мадхава также упомянул значение окружности, более близкое [к истинному значению], чем это: «Боги [тридцать три], глаза [два], слоны [восемь], змеи [восемь], огни [три], три, качества [три], Веды [четыре], накшатры [двадцать семь], слоны [восемь], руки [два] (2 827 433 388 233) — мудрецы сказали, что это мера окружности, когда диаметр круга равен девяти никарвам [10^11]». Шанкара Вариар говорит здесь, что значение Мадхавы 2 827 433 388 233 / 900 000 000 000 точнее, чем «то», то есть точнее, чем традиционное значение для π». ^[3]

Затем Шанкара Вариар цитирует набор из четырех стихов Мадхавы, которые предписывают геометрический метод вычисления значения длины окружности . Этот метод включает в себя вычисление периметров последовательных правильных описанных многоугольников , начиная с квадрата .

Затем Шанкара Вариар описывает более простой метод вычисления значения π, предложенный Мадхавой.

«Он (Мадхава) упоминает более простой способ получения окружности. То есть:

Попеременно прибавляйте или вычитайте диаметр, умноженный на четыре и деленный по порядку на нечетные числа, например, три, пять и т. д., к диаметру, умноженному на четыре и деленному на один.

Предполагая, что деление завершается делением на нечетное число, то какое бы четное число ни стояло над [следующим] этим [нечетным числом], половина его будет множителем последнего [члена].

Квадрат этого [четного числа], увеличенного на 1, есть делитель диаметра, умноженного на 4, как и прежде. Результат этих двух (множителя и делителя) добавляется, когда [предыдущий член] отрицателен, а когда положительный — вычитается.

Результатом является точная окружность. Если деление повторять много раз, оно станет очень точным." ^[3]

Чтобы перевести эти стихи в современные математические обозначения, пусть C будет окружностью , а D — диаметром круга . Тогда более простой метод Мадхавы для нахождения C сводится к следующему выражению для C:

С = 4Д/1 - 4Д/3 + 4Д/5 - 4Д/7 + ...

По сути, это ряд, известный как ряд Грегори-Лейбница для π. После формулировки этого ряда, Санкара Вариар следует за ним, описывая сложное геометрическое обоснование для вывода ряда. ^[3]

Теория далее развивается в Криякрамакари. Она поднимает проблему вывода подобного ряда для вычисления произвольной дуги окружности. Это дает бесконечное разложение ряда функции арктангенса . Этот результат также приписывается Мадхаве.

«Теперь, с помощью того же самого аргумента, можно [сделать] определение дуги искомого синуса. То есть следующим образом:

Первый результат — произведение искомого Синуса и радиуса, деленное на Косинус. Когда квадрат Синуса сделан множителем, а квадрат Косинуса — делителем,

теперь группа результатов должна быть определена из [предыдущих] результатов, начиная с первого. Когда они делятся по порядку на нечетные числа 1, 3 и т. д.,

и когда вычтем сумму четных [результатов] из суммы нечетных, [это] должно быть дугой. Здесь требуется, чтобы меньший из Синуса и Косинуса рассматривался как искомый [Синус].

В противном случае не было бы прекращения результатов, даже если бы они были многократно [вычислены]». ^[3]

Приведенные выше формулы утверждают , что если для произвольной дуги θ окружности радиуса R известны синус и косинус и если предположить, что sin θ < cos θ, то имеем:

θ = (R sin θ)/(1 cos θ) − (R sin ³ θ)/(3 cos ³ θ) + (R sin ⁵ θ)/(5 cos ⁵ θ) − (R sin ⁷ θ)/( 7 потому что ⁷ θ)+ . . .

• Керальская школа астрономии и математики
• Лилавати
• Санкара Вариар