Теорема Кехера–Винберга

В операторной алгебре теорема Кехера –Винберга является теоремой реконструкции для действительных йордановых алгебр . Она была доказана независимо Максом Кехером в 1957 году ^[1] и Эрнестом Винбергом в 1961 году ^[2]. Она обеспечивает взаимно-однозначное соответствие между формально действительными йордановыми алгебрами и так называемыми областями положительности. Таким образом, она связывает операторные алгебраические и выпукло -порядковые теоретические представления о пространствах состояний физических систем.

Выпуклый конус называется правильным , если оба конуса и лежат в замыкании .${\displaystyle С}$${\displaystyle а=0}$${\displaystyle а}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle {\overline {C}}}$

Выпуклый конус в векторном пространстве со скалярным произведением имеет двойственный конус . Конус называется самодвойственным, когда . Он называется однородным, когда для любых двух точек существует действительное линейное преобразование , которое ограничивается биекцией и удовлетворяет .${\displaystyle С}$ ${\displaystyle А}$ ${\displaystyle C^{*}=\{a\in A:\forall b\in C\langle a,b\rangle >0\}}$${\displaystyle С=С^{*}}$${\displaystyle a,b\in C}$ ${\displaystyle T\двоеточие A\to A}$${\displaystyle C\to C}$${\displaystyle Т(а)=б}$

Теорема Кехера–Винберга теперь утверждает, что эти свойства точно характеризуют положительные конусы йордановых алгебр.

Теорема : Существует взаимно-однозначное соответствие между формально действительными йордановыми алгебрами и выпуклыми конусами, которые являются:

• открыть;
• обычный;
• однородный;
• самодвойственный.

Выпуклые конусы, удовлетворяющие этим четырем свойствам, называются областями положительности или симметричными конусами . Область положительности, связанная с действительной йордановой алгеброй, является внутренней частью «положительного» конуса .${\displaystyle А}$${\displaystyle A_{+}=\{a^{2}\двоеточие a\in A\}}$

Доказательство см. в Koecher (1999) ^[3] или Faraut & Koranyi (1994). ^[4]