многогранник Клейна

В геометрии чисел многогранник Клейна , названный в честь Феликса Клейна , используется для обобщения концепции простых цепных дробей на более высокие измерения.

Пусть — замкнутый симплициальный конус в евклидовом пространстве . Многогранник Клейна — выпуклая оболочка ненулевых точек .${\displaystyle \textstyle С}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle С}$${\displaystyle \textstyle C\cap \mathbb {Z} ^{n}}$

Предположим, что — иррациональное число. В конусы, порожденные и , порождают два многогранника Клейна, каждый из которых ограничен последовательностью смежных отрезков прямой. Определим целочисленную длину отрезка прямой как меньшую на единицу, чем размер его пересечения с Тогда целочисленные длины ребер этих двух многогранников Клейна кодируют разложение в непрерывную дробь , одно из которых соответствует четным членам, а другое — нечетным членам.${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \textstyle \{(1,\альфа), (1,0)\}}$${\displaystyle \textstyle \{(1,\альфа), (0,1)\}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} ^{2}.}$${\displaystyle \textstyle \alpha }$

Предположим, что порождается базисом (так что ) , и пусть будет двойственным базисом (так что ). Запишем для линии, порождаемой вектором , и для гиперплоскости, ортогональной .${\displaystyle \textstyle С}$${\displaystyle \textstyle (a_{i})}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle C=\{\sum _{i}\lambda _{i}a_{i}:(\forall i)\;\lambda _{i}\geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle (w_{i})}$${\displaystyle \textstyle C=\{x:(\forall i)\;\langle w_{i},x\rangle \geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle D (х)}$${\displaystyle \textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle H (x)}$${\displaystyle \textstyle x}$

Назовем вектор иррациональным , если ; и назовем конус иррациональным, если все векторы и иррациональны.${\displaystyle \textstyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle H(x)\cap \mathbb {Q} ^{n}=\{0\}}$${\displaystyle \textstyle С}$${\displaystyle \textstyle a_{i}}$${\displaystyle \textstyle w_{i}}$

Граница многогранника Клейна называется парусом . С парусом иррационального конуса связаны два графика :${\displaystyle \textstyle V}$${\displaystyle \textstyle V}$

• граф , вершины которого являются вершинами , при этом две вершины соединяются, если они являются конечными точками (одномерного) ребра ;${\displaystyle \textstyle \Gamma _ {\ mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle V}$${\displaystyle \textstyle V}$
• граф , вершинами которого являются -мерные грани ( камеры ) графа , при этом две камеры соединяются, если они имеют общую -мерную грань.${\displaystyle \textstyle \Gamma _ {\ mathrm {f} }(V)}$${\displaystyle \textstyle (n-1)}$${\displaystyle \textstyle V}$${\displaystyle \textstyle (n-2)}$

Оба эти графа структурно связаны с ориентированным графом , множество вершин которого равно , где вершина соединена с вершиной тогда и только тогда, когда имеет вид , где${\displaystyle \textstyle \Upsilon _ {n}}$${\displaystyle \textstyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q})}$${\displaystyle \textstyle А}$${\displaystyle \textstyle Б}$${\displaystyle \textstyle A^{-1}B}$${\displaystyle \textstyle UW}$

${\displaystyle U=\left({\begin{array}{cccc}1&\cdots &0&c_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &1&c_{n-1}\\0&\cdots &0&c_{n}\end{array}}\right)}$

(с , ) и является матрицей перестановки. Предполагая, что было триангулировано , вершины каждого из графов и могут быть описаны в терминах графа :${\displaystyle \textstyle c_{i}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \textstyle c_{n}\neq 0}$${\displaystyle \textstyle W}$${\displaystyle \textstyle V}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _ {\ mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _ {\ mathrm {f} }(V)}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _ {n}}$

• Для любого пути в можно найти путь в такой, что , где — вектор .${\displaystyle \textstyle (x_{0},x_{1},\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$${\displaystyle \textstyle x_{k}=A_{k}(e)}$${\displaystyle \textstyle e}$${\displaystyle \textstyle (1,\ldots ,1)\in \mathbb {R} ^{n}}$
• Для любого пути в можно найти путь в такой, что , где — -мерный стандартный симплекс в .${\displaystyle \textstyle (\sigma _{0},\sigma _{1},\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$${\displaystyle \textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}=A_{k}(\Delta )}$${\displaystyle \textstyle \Delta }$${\displaystyle \textstyle (n-1)}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

Лагранж доказал, что для иррационального действительного числа разложение в цепную дробь является периодическим тогда и только тогда, когда является квадратичным иррациональным числом . Многогранники Клейна позволяют нам обобщить этот результат.${\displaystyle \textstyle \alpha }$${\displaystyle \textstyle \alpha }$${\displaystyle \textstyle \alpha }$

Пусть будет вполне вещественным алгебраическим числовым полем степени , и пусть будет вещественными вложениями . Говорят, что симплициальный конус расщепляется над , если есть базис для над .${\displaystyle \textstyle K\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}:K\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle K}$${\displaystyle \textstyle C}$${\displaystyle \textstyle K}$${\displaystyle \textstyle C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:(\forall i)\;\alpha _{i}(\omega _{1})x_{1}+\ldots +\alpha _{i}(\omega _{n})x_{n}\geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle \textstyle K}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$

Для данного пути в , пусть . Путь называется периодическим , с периодом , если для всех . Матрица периодов такого пути определяется как . Путь в или связанный с таким путем также называется периодическим, с той же матрицей периодов.${\displaystyle \textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$${\displaystyle \textstyle R_{k}=A_{k+1}A_{k}^{-1}}$${\displaystyle \textstyle m}$${\displaystyle \textstyle R_{k+qm}=R_{k}}$${\displaystyle \textstyle k,q\geq 0}$${\displaystyle \textstyle A_{m}A_{0}^{-1}}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$

Обобщенная теорема Лагранжа утверждает, что для иррационального симплициального конуса с образующими и , как указано выше, и с парусом , следующие три условия эквивалентны:${\displaystyle \textstyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle (a_{i})}$${\displaystyle \textstyle (w_{i})}$${\displaystyle \textstyle V}$

• ${\displaystyle \textstyle C}$разделен на некоторое вполне вещественное алгебраическое числовое поле степени .${\displaystyle \textstyle n}$
• Для каждого из существует периодический путь вершин такой , что асимптотически приближается к прямой ; и матрицы периодов этих путей все коммутируют.${\displaystyle \textstyle a_{i}}$${\displaystyle \textstyle x_{0},x_{1},\ldots }$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle x_{k}}$${\displaystyle \textstyle D(a_{i})}$
• Для каждого из существует периодический путь камер такой , что асимптотически приближается к гиперплоскости ; и матрицы периодов этих путей все коммутируют.${\displaystyle \textstyle w_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{0},\sigma _{1},\ldots }$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}}$${\displaystyle \textstyle H(w_{i})}$

Возьмем и . Тогда симплициальный конус разделится над . Вершины паруса — это точки, соответствующие четным подходящим дробям цепной дроби для . Путь вершин в положительном квадранте, начинающийся в и продолжающийся в положительном направлении, равен . Пусть — отрезок прямой, соединяющий с . Запишем и для отражений и относительно оси . Пусть , так что , и пусть .${\displaystyle \textstyle n=2}$${\displaystyle \textstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \textstyle \{(x,y):x\geq 0,\vert y\vert \leq x/{\sqrt {2}}\}}$${\displaystyle \textstyle K}$${\displaystyle \textstyle (p_{k},\pm q_{k})}$${\displaystyle \textstyle p_{k}/q_{k}}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \textstyle (x_{k})}$${\displaystyle \textstyle (1,0)}$${\displaystyle \textstyle ((1,0),(3,2),(17,12),(99,70),\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}}$${\displaystyle \textstyle x_{k}}$${\displaystyle \textstyle x_{k+1}}$${\displaystyle \textstyle {\bar {x}}_{k}}$${\displaystyle \textstyle {\bar {\sigma }}_{k}}$${\displaystyle \textstyle x_{k}}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle T=\left({\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}}\right)}$${\displaystyle \textstyle x_{k+1}=Tx_{k}}$${\displaystyle \textstyle R=\left({\begin{array}{cc}6&1\\-1&0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&6\\0&-1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$

Пусть , , , и .${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {e} }=\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{4}}\end{array}}\right)}$${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {e} }=\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{array}}\right)}$${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {f} }=\left({\begin{array}{cc}3&1\\2&0\end{array}}\right)}$${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {f} }=\left({\begin{array}{cc}3&1\\-2&0\end{array}}\right)}$

• Пути и являются периодическими (с периодом один) по , с матрицами периодов и . Имеем и .${\displaystyle \textstyle (M_{\mathrm {e} }R^{k})}$${\displaystyle \textstyle ({\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k})}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{2}}$${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {e} }RM_{\mathrm {e} }^{-1}=T}$${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {e} }R{\bar {M}}_{\mathrm {e} }^{-1}=T^{-1}}$${\displaystyle \textstyle x_{k}=M_{\mathrm {e} }R^{k}(e)}$${\displaystyle \textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)}$
• Пути и являются периодическими (с периодом один) по , с матрицами периодов и . Имеем и .${\displaystyle \textstyle (M_{\mathrm {f} }R^{k})}$${\displaystyle \textstyle ({\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k})}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{2}}$${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {f} }RM_{\mathrm {f} }^{-1}=T}$${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {f} }R{\bar {M}}_{\mathrm {f} }^{-1}=T^{-1}}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}=M_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )}$${\displaystyle \textstyle {\bar {\sigma }}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )}$

Действительное число называется плохо приближаемым, если оно отделено от нуля. Иррациональное число плохо приближаемо тогда и только тогда, когда неполные частные его цепной дроби ограничены. ^[1] Этот факт допускает обобщение в терминах многогранников Клейна.${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$${\displaystyle \textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}}$

Для заданного симплициального конуса в , где , определим минимум нормы как .${\displaystyle \textstyle C=\{x:(\forall i)\;\langle w_{i},x\rangle \geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle \langle w_{i},w_{i}\rangle =1}$${\displaystyle \textstyle C}$${\displaystyle \textstyle N(C)=\inf\{\prod _{i}\langle w_{i},x\rangle :x\in \mathbb {Z} ^{n}\cap C\setminus \{0\}\}}$

Даны векторы , пусть . Это евклидов объем .${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\in \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle [\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}\vert \det(\mathbf {v} _{i_{1}}\cdots \mathbf {v} _{i_{n}})\vert }$${\displaystyle \textstyle \{\sum _{i}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}:(\forall i)\;0\leq \lambda _{i}\leq 1\}}$

Пусть будет парусом иррационального симплициального конуса .${\displaystyle \textstyle V}$${\displaystyle \textstyle C}$

• Для вершины определите, где находятся примитивные векторы при формировании ребер, исходящих из .${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle [x]=[\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]}$${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle x}$
• Для вершины определите, где находятся крайние точки .${\displaystyle \textstyle \sigma }$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$${\displaystyle \textstyle [\sigma ]=[\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]}$${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$${\displaystyle \textstyle \sigma }$

Тогда тогда и только тогда, когда и оба ограничены.${\displaystyle \textstyle N(C)>0}$${\displaystyle \textstyle \{[x]:x\in \Gamma _{\mathrm {e} }(V)\}}$${\displaystyle \textstyle \{[\sigma ]:\sigma \in \Gamma _{\mathrm {f} }(V)\}}$

Величины и называются детерминантами . В двух измерениях, с конусом, образованным , они являются просто частичными частными непрерывной дроби .${\displaystyle \textstyle [x]}$${\displaystyle \textstyle [\sigma ]}$${\displaystyle \textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}}$${\displaystyle \textstyle \alpha }$

• Здание (математика)

• О.Н. Герман, 2007, "Многогранники Клейна и решетки с положительными минимумами нормы". Journal de theorie des nombres de Bordeaux 19 : 175–190.
• Е.И. Коркина, 1995, «Двумерные цепные дроби. Простейшие примеры», Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН, 209 , стр. 124–144.
• G. Lachaud, 1998, «Паруса и многогранники Клейна» в Contemporary Mathematics 210. Американское математическое общество: 373–385.