Конфигурация Клейна
В геометрии конфигурация Клейна , изученная Клейном (1870), представляет собой геометрическую конфигурацию, связанную с поверхностями Куммера , которая состоит из 60 точек и 60 плоскостей, причем каждая точка лежит на 15 плоскостях, а каждая плоскость проходит через 15 точек. Конфигурации используют 15 пар прямых, 12 . 13 . 14 . 15 . 16 . 23 . 24 . 25 . 26 . 34 . 35 . 36 . 45 . 46 . 56 и их обратные. 60 точек представляют собой три параллельные прямые, образующие нечетную перестановку, показанную ниже. Шестьдесят плоскостей представляют собой 3 копланарные прямые, образующие четные перестановки, полученные путем перестановки последних двух цифр в точках. Для любой точки или плоскости существует 15 членов в другом наборе, содержащем эти 3 прямые. [Хадсон, 1905]
| 12-34-65 | 12-43-56 | 21-34-56 | 21-43-65 | 12-35-46 | 12-53-64 |
| 21-35-64 | 21-53-46 | 12-36-54 | 12-63-45 | 21-36-45 | 21-63-54 |
| 13-24-56 | 13-42-65 | 31-24-65 | 31-42-56 | 13-25-64 | 13-52-46 |
| 31-25-46 | 31-52-64 | 13-26-45 | 13-62-54 | 31-26-54 | 31-62-45 |
| 14-23-65 | 14-32-56 | 41-23-56 | 41-32-65 | 14-25-36 | 14-52-63 |
| 41-25-63 | 41-52-36 | 14-26-53 | 14-62-35 | 41-26-35 | 41-62-53 |
| 15-23-46 | 15-32-64 | 51-23-64 | 51-32-46 | 15-24-63 | 15-42-36 |
| 51-24-36 | 51-42-63 | 15-26-34 | 15-62-43 | 51-26-43 | 51-62-34 |
| 16-23-54 | 16-32-45 | 61-23-45 | 61-32-54 | 16-24-35 | 16-42-53 |
| 61-24-53 | 61-42-35 | 16-25-43 | 16-52-34 | 61-25-34 | 61-52-43 |
Координаты точек и плоскостей
Возможный набор координат для точек (а также для плоскостей!) следующий:
| П 1 =[0:0:1:1] | П 11 =[0:1:−1:0] | П 21 =[1:1:0:0] | П 31 =[1:1:−1:1] | P 41 =[1:−1: i : i ] | П 51 =[1:− я :−1: я ] |
| П 2 =[0:0:1: я ] | П 12 =[0:1:− я :0] | П 22 =[1: я :0:0] | П 32 =[1:1:−1:−1] | П 42 =[1:−1: я :− я ] | П 52 =[1:− я :−1:− я ] |
| П 3 =[0:0:1:−1] | П 13 =[1:0:0:1] | П 23 =[1:−1:0:0] | П 33 =[1:−1:1:1] | П 43 =[1:−1:− я : я ] | П 53 =[1: я : я :1] |
| П 4 =[0:0:1:- я ] | П 14 =[1:0:0: я ] | П 24 =[1:− я :0:0] | П 34 =[1:−1:1:−1] | П 44 =[1:−1:− я :− я ] | П 54 =[1: я :− я :1] |
| П 5 =[0:1:0:1] | П 15 =[1:0:0:−1] | П 25 =[1:0:0:0] | П 35 =[1:−1:−1:1] | П 45 =[1: я :1: я ] | П 55 =[1:− я : я :1] |
| П 6 =[0:1:0: я ] | П 16 =[1:0:0:− я ] | П 26 =[0:1:0:0] | П 36 =[1:−1:−1:−1] | П 46 =[1: я :1:− я ] | П 56 =[1:− я :− я :1] |
| П 7 =[0:1:0:−1] | П 17 =[1:0:1:0] | П 27 =[0:0:1:0] | П 37 =[1:1: я : я ] | П 47 =[1:− я :1: я ] | П 57 =[1: я : я :−1] |
| П 8 =[0:1:0:− я ] | П 18 =[1:0: я :0] | П 28 =[0:0:0:1] | П 38 =[1:1:− я : я ] | П 48 =[1:− я :1:− я ] | П 58 =[1: я :− я :−1] |
| П 9 =[0:1:1:0] | П 19 =[1:0:−1:0] | П 29 =[1:1:1:1] | П 39 =[1:1: я :− я ] | P 49 =[1: i :−1: i ] | П 59 =[1:− я : я :−1] |
| П 10 =[0:1: я :0] | П 20 =[1:0:− я :0] | П 30 =[1:1:1:−1] | П 40 =[1:1:− я :− я ] | П 50 =[1: я :−1:− я ] | П 60 =[1:− я :− я :−1] |
Ссылки
- Хадсон, RWHT (1990) [1905], "§25. Конфигурация Клейна 6015", Квартальная поверхность Куммера , Кембриджская математическая библиотека, Издательство Кембриджского университета , стр. 42–44 , ISBN 978-0-521-39790-2, МР 1097176
- Кляйн, Феликс (1870), «Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades», Mathematische Annalen , 2 (2), Springer Berlin / Heidelberg: 198–226 , doi : 10.1007/BF01444020, ISSN 0025-5831, S2CID 121706710
- Покора, Петр; Шемберг, Томаш; Шпонд, Юстина (2020). «Неожиданные свойства конфигурации Клейна из 60 точек в P3». arXiv : 2010.08863 [math.AG].Однако в оригинальной статье координаты P43 неверны.
