Клетоп

В геометрии и многогранной комбинаторике , Клетоп многогранника или многогранника более высокой размерности P — это другой многогранник или многогранник P ^K, образованный заменой каждой грани P пирамидой . ^{[1] В некоторых случаях пирамида выбирается с правильными сторонами, что} часто приводит к невыпуклому многограннику ; в качестве альтернативы, при использовании достаточно пологих пирамид результаты могут оставаться выпуклыми. Клетопы названы в честь Виктора Клее , ^[2] хотя та же концепция была известна под другими названиями задолго до работ Клее. ^[3]

В каждом из этих случаев Kleetope формируется путем присоединения пирамид к каждой грани исходного многогранника. Эти примеры можно увидеть из Платоновых тел :

• Триакистетраэдр является вершиной Клее тетраэдра , триакистеоктаэдр является вершиной Клее октаэдра , а триакистеикосаэдр является вершиной Клее икосаэдра . Эти вершины Клее образованы путем добавления треугольной пирамиды к каждой их грани. ^[3]
• Тетракисгексаэдр — это вершина Клеетопа куба , образованная добавлением квадратной пирамиды к каждой из его граней.
• Пентакисдодекаэдр — это вершина Клее додекаэдра , образованная добавлением пятиугольной пирамиды к каждой грани додекаэдра. ^[4]

Базовый многогранник Kleetope не обязательно должен быть платоновым телом. Например, дисдьякис-додекаэдр — это Kleetope ромбического додекаэдра , образованный заменой каждой ромбической грани додекаэдра на ромбическую пирамиду, а дисдьякис-триаконтаэдр — это Kleetope ромбического триаконтаэдра . Фактически, базовый многогранник Kleetope не обязательно должен быть гране-транзитивным , как можно видеть из трипентакис-икосо-додекаэдра выше.

Один из методов формирования Kleetope многогранника P заключается в размещении новой вершины вне P , около центроида каждой грани. Если все эти новые вершины размещены достаточно близко к соответствующим центроидам, то единственными другими вершинами, видимыми для них, будут вершины граней, из которых они определены. В этом случае Kleetope многогранника P является выпуклой оболочкой объединения вершин P и множества новых вершин. ^[5]

В качестве альтернативы, Клетоп может быть определен через двойственность и ее двойственную операцию, усечение : Клетоп P является двойственным многогранником усечения двойственного P.

Если P имеет достаточно вершин относительно его размерности, то Kleetope P размерно однозначен : граф, образованный его ребрами и вершинами, не является графом другого многогранника или многогранника с другой размерностью. Более конкретно, если число вершин d -мерного многогранника P составляет не менее d ² /2 , то P ^K размерно однозначен. ^[6]

Если каждая i -мерная грань d -мерного многогранника P является симплексом , и если i ≤ d − 2 , то каждая ( i + 1) -мерная грань P ^K также является симплексом. В частности, Kleetope любого трехмерного многогранника является симплициальным многогранником , многогранником, в котором все грани являются треугольниками.

Клеетопы могут использоваться для генерации многогранников, не имеющих гамильтоновых циклов : любой путь через одну из вершин, добавленных в конструкции Клеетопа, должен входить и выходить из вершины через ее соседей в исходном многограннике, и если новых вершин больше, чем исходных вершин, то соседей недостаточно для обхода. В частности, граф Голднера–Харари , Клеетоп треугольной бипирамиды, имеет шесть вершин, добавленных в конструкции Клеетопа, и только пять в бипирамиде, из которой он был образован, поэтому он негамильтонов; это простейший возможный негамильтонов симплициальный многогранник. ^[7] Если многогранник с n вершинами образован путем повторения конструкции Клеетопа некоторое количество раз, начиная с тетраэдра, то его самый длинный путь имеет длину O( n ^{log ₃ 2} ) ; то есть показатель краткости этих графов равен log ₃ 2 , приблизительно 0,630930. Тот же метод показывает, что в любой более высокой размерности  d существуют симплициальные многогранники с показателем краткости log _d 2 . ^[8] Аналогично, Пламмер (1992) использовал конструкцию Клитопа, чтобы предоставить бесконечное семейство примеров симплициальных многогранников с четным числом вершин, которые не имеют идеального соответствия . ^[9]

Клетопы также обладают некоторыми экстремальными свойствами, связанными со степенями их вершин : если каждое ребро в плоском графе инцидентно по крайней мере семи другим ребрам, то должна существовать вершина степени не более пяти, все соседи которой, кроме одной, имеют степень 20 или более, а Клетоп икосаэдра представляет собой пример, в котором вершины с высокой степенью имеют степень ровно 20. ^[10]