Ядро (теория множеств)

Для проверки этой статьи нужны дополнительные ссылки . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Не имеющие источников материалы могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  Теория множеств "Kernel" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теории множеств ядро ​​функции ( или ядро ​​эквивалентности ^{[1] ) может} быть принято либо${\displaystyle f}$

• отношение эквивалентности на области определения функции , которое примерно выражает идею «эквивалентности, насколько это может сказать функция» ^[2] или${\displaystyle f}$
• соответствующий раздел домена.

Несвязанным понятием является понятие ядра непустого семейства множеств , которое по определению является пересечением всех его элементов: Это определение используется в теории фильтров для их классификации как свободных или главных . ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.}$$

Ядро функции

Для формального определения пусть будет функцией между двумя множествами . Элементы эквивалентны , если и равны , то есть являются одним и тем же элементом Ядро есть отношение эквивалентности, определенное таким образом. [ ^2]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)}$${\displaystyle f\left(x_{2}\right)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f}$

Ядро семейства множеств

TheЯдро семейства множеств${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ — это^[3] Ядротакже иногда обозначается какЯдропустого множества,обычно остается неопределенным. Семейство называется$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \cap {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \ker \varnothing ,}$фиксированный и, как говорят, имеетнепустое пересечение , если егоядро​​не пусто.^[3] Семья называетсясвободен , если он не фиксирован; то есть, если его ядром является пустое множество.^[3]

Как и любое отношение эквивалентности, ядро ​​может быть преобразовано в фактор-множество , а фактор-множество является разбиением:$${\displaystyle \left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{-1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.}$$

Это фактормножество называется кообразом функции и обозначается (или вариацией). Кообраз естественным образом изоморфен (в теоретико-множественном смысле биекции ) образу , в частности , класс эквивалентности в (который является элементом ) соответствует в (который является элементом ).${\displaystyle X/=_{f}}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {coim} f}$${\displaystyle \operatorname {im} f;}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {coim} f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {im} f}$

Как и любое бинарное отношение , ядро ​​функции можно рассматривать как подмножество декартова произведения. В этом облике ядро ​​может быть обозначено (или его вариация) и может быть определено символически как ^[2]${\displaystyle X\times X.}$${\displaystyle \ker f}$$${\displaystyle \ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.}$$

Изучение свойств этого подмножества может пролить свет на${\displaystyle f.}$

Если и являются алгебраическими структурами некоторого фиксированного типа (например, группами , кольцами или векторными пространствами ), и если функция является гомоморфизмом , то является отношением конгруэнтности (то есть отношением эквивалентности , совместимым с алгебраической структурой), а кообраз является частным ^[2] Биекция между кообразом и образом является изоморфизмом в алгебраическом смысле; это наиболее общая форма первой теоремы об изоморфизме . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$

Если — непрерывная функция между двумя топологическими пространствами , то топологические свойства могут пролить свет на пространства и Например, если — хаусдорфово пространство , то должно быть замкнутым множеством . И наоборот, если — хаусдорфово пространство и — замкнутое множество, то прообраз , если задана топология факторпространства , также должен быть хаусдорфовым пространством. ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle f,}$

Пространство компактно тогда и только тогда, когда ядро ​​каждого семейства замкнутых подмножеств , обладающих свойством конечного пересечения (FIP), непусто; ^{[4] [5] иными словами, пространство компактно тогда и только тогда,} когда каждое семейство замкнутых подмножеств с FIP фиксировано.

• Фильтр (теория множеств)  – Семейство множеств, представляющих «большие» множества

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Теория категорий . Oxford Logic Guides. Том 49 (2-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . Нью-Джерси: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.